8 класс · Рациональные дроби

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Правило умножения

С обыкновенными дробями умножение — самое простое действие: $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{4}{5}=\tfrac{2\cdot4}{3\cdot5}=\tfrac{8}{15}$ — числители перемножаются отдельно, знаменатели отдельно. С рациональными дробями, где вместо чисел стоят многочлены, действует ровно то же правило.

📐 Умножение дробейЧтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели: первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе дроби.

$$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}, \qquad b\ne 0,\; d\ne 0$$

Перетяни бегунки в интерактиве: первый множитель и второй множитель дают общую полоску из 24 долей — знаменатели перемножились, а закрашенных клеток в ней ровно $a\cdot c$.

Пример 1. Умножим дробь $\tfrac{a^3}{4b^2}$ на дробь $\tfrac{6b}{a^2}$:

$$\dfrac{a^3}{4b^2}\cdot\dfrac{6b}{a^2}=\dfrac{a^3\cdot 6b}{4b^2\cdot a^2}=\dfrac{6a^3b}{4a^2b^2}=\dfrac{3a}{2b}$$

Пример 2. Полученное произведение почти всегда можно сократить — для этого числитель и знаменатель раскладывают на множители:

$$\dfrac{pm+2p}{m}\cdot\dfrac{pm^2}{m^2-4}=\dfrac{p(m+2)\cdot pm^2}{m\cdot(m-2)(m+2)}=\dfrac{p^2m}{m-2}$$

Умножение дроби на многочлен

Если дробь умножают на многочлен, этот многочлен записывают в виде дроби со знаменателем 1 — и дальше применяют обычное правило умножения дробей.

1
Умножим дробь $\tfrac{x+a}{x-a}$ на многочлен $x^2-a^2$. Записываем многочлен как дробь: $\tfrac{x+a}{x-a}\cdot\tfrac{x^2-a^2}{1}$.
2
Раскладываем на множители по формуле разности квадратов: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$.
3
Перемножаем и сокращаем общий множитель $x-a$: $\tfrac{(x+a)(x-a)(x+a)}{x-a}=(x+a)^2$.
💡 Три дроби и большеПравило умножения распространяется на произведение трёх и более дробей: $\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{c}{d}\cdot\tfrac{m}{n}=\tfrac{acm}{bdn}$ — все числители в числитель, все знаменатели в знаменатель.

Возведение дроби в степень

Возвести дробь в степень $n$ — то же самое, что перемножить $n$ одинаковых дробей. Применяя правило умножения, получаем:

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\underbrace{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\ldots\cdot\dfrac{a}{b}}_{n}=\dfrac{a^n}{b^n}$$

📐 Возведение дроби в степеньЧтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби: $\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}$, где $b\ne0$.

Пример 3. $\left(\tfrac{2a^2}{b^4}\right)^3=\tfrac{(2a^2)^3}{(b^4)^3}=\tfrac{8a^6}{b^{12}}$ — не забывайте возводить в степень и числовой коэффициент.

⚠️ Частая ошибкаПосле умножения дробей пытаются сократить дробь «по слагаемым», не разложив числитель и знаменатель на множители. В дроби $\tfrac{x+3}{x+6}$ сокращать $x$ нельзя — здесь и числитель, и знаменатель это суммы, а не произведения. Сокращать можно только общий множитель всего числителя и всего знаменателя.
🧠 ЗапомниУмножение: $\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{c}{d}=\tfrac{ac}{bd}$ — числители между собой, знаменатели между собой. Многочлен при умножении записывают как дробь со знаменателем 1. Степень: $\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}$, коэффициент тоже возводится в степень. Ответ сокращаем только после разложения числителя и знаменателя на множители.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике