Алгебра · 8 класс · Глава I · § 3 · п. 3.2

Деление дробей

Правило деления

Деление обыкновенных дробей вы уже умеете выполнять: $\tfrac{3}{8}:\tfrac{2}{5}=\tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{5}{2}=\tfrac{15}{16}$ — первую дробь умножают на дробь, обратную второй (у обратной дроби числитель и знаменатель меняются местами). Так же поступают при делении любых рациональных дробей.

📐 Деление дробейЧтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}, \qquad b\ne 0,\; c\ne 0,\; d\ne 0$$

Перетяни бегунки в интерактиве справа: делитель переворачивается, и результат получается не меньше, а больше делимого — потому что делим на число, меньшее единицы.

Разбор примера по шагам

Схема всегда одна: заменяем деление умножением на обратную дробь, перемножаем, затем сокращаем.

1
Разделим дробь $\tfrac{7a^2}{b}$ на дробь $\tfrac{14a}{b^3}$. По правилу деления заменяем деление умножением на обратную дробь: $\tfrac{7a^2}{b}\cdot\tfrac{b^3}{14a}$.
2
Перемножаем числители и знаменатели: $\tfrac{7a^2\cdot b^3}{b\cdot 14a}=\tfrac{7a^2b^3}{14ab}$.
3
Сокращаем общий множитель $7ab$ в числителе и знаменателе: $\tfrac{7a^2b^3}{14ab}=\tfrac{ab^2}{2}$.

Пример 2. Если числители и знаменатели — многочлены, действуем так же:

$$\dfrac{x-2}{x}:\dfrac{x+1}{x+2}=\dfrac{x-2}{x}\cdot\dfrac{x+2}{x+1}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}=\dfrac{x^2-4}{x^2+x}$$

Деление дроби на многочлен

Если дробь делят на многочлен, многочлен сначала записывают в виде дроби со знаменателем 1, а затем применяют правило деления.

Пример 3. Разделим дробь $\tfrac{a^2-9}{3y}$ на многочлен $a+3$:

$$\dfrac{a^2-9}{3y}:\dfrac{a+3}{1}=\dfrac{a^2-9}{3y}\cdot\dfrac{1}{a+3}=\dfrac{(a-3)(a+3)}{3y(a+3)}=\dfrac{a-3}{3y}$$

💡 Почему делитель не может быть нулёмВ записи $\tfrac{a}{b}:\tfrac{c}{d}$ ненулевыми должны быть сразу три многочлена: $b$ и $d$ — потому что это знаменатели, и $c$ — потому что при перевороте дроби он становится знаменателем. Отсюда и берутся ограничения на допустимые значения переменных.
⚠️ Частая ошибкаПереворачивают первую дробь вместо второй: пишут $\tfrac{b}{a}\cdot\tfrac{c}{d}$ вместо $\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{d}{c}$. Переворачивается только делитель — та дробь, которая стоит после знака деления. Вторая частая ошибка — сокращать «по слагаемым» до того, как числитель и знаменатель разложены на множители.
🧠 ЗапомниДеление: $\tfrac{a}{b}:\tfrac{c}{d}=\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{d}{c}=\tfrac{ad}{bc}$ — заменяем деление умножением на обратную дробь, переворачиваем только делитель. Многочлен при делении записывают как дробь со знаменателем 1. Ограничения: $b\ne0$, $c\ne0$, $d\ne0$. Сокращаем результат только после разложения на множители.
← Глава I · § 3 · п. 3.1 Умножение дробей. Возведение дроби в степень Все темы Глава I · § 3 · п. 3.3 → Преобразование рациональных выражений
$\dfrac{a}{6}:\dfrac{c}{4}=\dfrac{a}{6}\cdot\dfrac{4}{c}=\dfrac{4a}{6c}$
a = 3,   c = 2,   4a = 12 из 12
Перетяни бегунки — деление на c/4 это умножение на обратную дробь 4/c