Раньше в одном выражении встречалось только одно действие с дробями: либо сложение, либо умножение. Но чаще в задачах все четыре действия — сложение, вычитание, умножение и деление — перемешаны в одном большом выражении, да ещё со скобками. Например:
Это рациональное выражение — оно составлено из рациональных дробей и многочленов при помощи сложения, вычитания, умножения и деления. Чтобы такое выражение упростить, его нужно разложить на отдельные, уже знакомые шаги: сложение дробей, затем умножение или деление результата.
📐Главный фактСумму, разность, произведение и частное рациональных дробей всегда можно представить в виде одной рациональной дроби. Значит, и любое рациональное выражение можно представить в виде одной рациональной дроби.
Справа показан порядок действий для выражения выше: сначала выполняется то, что в скобках, — сложение дробей, а уже потом — деление результата на многочлен (деление, как обычно, заменяется умножением на обратную дробь).
Из жизни: средняя скорость на трёх участках пути
💡Задача про пешеходаПешеход прошёл путь $s$ км туда со скоростью $v_1$, обратно за забытыми документами со скоростью $v_2$, и снова туда со скоростью $v_3$. Всего он прошёл $3s$ км, а затратил $\tfrac{s}{v_1}+\tfrac{s}{v_2}+\tfrac{s}{v_3}$ часов. Средняя скорость — это путь, делённый на время:
Это рациональное выражение: в знаменателе — сумма трёх дробей, а всё выражение сверху ещё делится на этот знаменатель. Чтобы формулой было удобно пользоваться, её нужно упростить — сократить дробь на $s$:
Действий здесь три: сложение в скобках, умножение на дробь и, наконец, сложение с единицей.
1
Складываем дроби в скобках. Раскладываем знаменатели на множители: $a^2-ab=a(a-b)$ и $ab-b^2=b(a-b)$ — общий знаменатель $ab(a-b)$:
$$\dfrac{b}{a^2-ab}+\dfrac{a}{ab-b^2}=\dfrac{b}{a(a-b)}+\dfrac{a}{b(a-b)}=\dfrac{a^2+b^2}{ab(a-b)}$$
2
Умножаем результат на дробь $\tfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}$. В числителе второй дроби вынесем общий множитель: $a^2b+ab^2=ab(a+b)$. После этого $a^2+b^2$ в числителе первой дроби и в знаменателе второй сокращаются:
$$\dfrac{a^2+b^2}{ab(a-b)}\cdot\dfrac{ab(a+b)}{a^2+b^2}=\dfrac{a+b}{a-b}$$
3
Прибавляем 1 — записываем единицу как дробь со знаменателем $(a-b)$, чтобы знаменатели совпали:
$$\dfrac{a+b}{a-b}+1=\dfrac{a+b+(a-b)}{a-b}=\dfrac{2a}{a-b}$$
⚠️Частая ошибкаВ шаге 3 выше единицу часто просто «пририсовывают» к числителю: $\tfrac{a+b}{a-b}+1\overset{?}{=}\tfrac{a+b+1}{a-b}$ — это неверно. Единица — не часть числителя, а отдельное слагаемое с собственным знаменателем 1. Чтобы прибавить её к дроби, нужно сначала привести к общему знаменателю: $1=\tfrac{a-b}{a-b}$, и только потом складывать числители: $\tfrac{a+b}{a-b}+\tfrac{a-b}{a-b}=\tfrac{a+b+(a-b)}{a-b}$.
🧠ЗапомниЛюбое рациональное выражение сводится к цепочке сложений, вычитаний, умножений и делений дробей — и в итоге всегда превращается в одну рациональную дробь. Порядок действий обычный: сначала скобки, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Деление — это умножение на обратную дробь. Целое число или многочлен при действиях с дробями — это тоже дробь, только со знаменателем 1.