Пусть длина прямоугольника равна $x$ см, а ширина — $y$ см, и площадь этого прямоугольника равна $24$ см². Тогда $xy=24$, откуда $y=\tfrac{24}{x}$: чем больше длина, тем меньше должна быть ширина, чтобы площадь осталась той же.
📐ОпределениеФункцию, которую можно задать формулой вида $y=\dfrac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число, называют обратной пропорциональностью.
В отличие от прямоугольника, где $x$ и $y$ — только положительные числа, у самой функции $y=\tfrac{k}{x}$ переменные $x$ и $y$ могут принимать любые значения, кроме нуля. Число $0$ не входит в область определения — ведь на ноль делить нельзя.
Если взять два значения аргумента $x_1$ и $x_2$ и соответствующие им значения функции $y_1$ и $y_2$, то из $x_1y_1=k$ и $x_2y_2=k$ следует пропорция $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_2}{y_1}$ — отношение двух значений аргумента равно обратному отношению значений функции. Отсюда и название — обратная пропорциональность.
Из жизни: скорость и время, цена и количество
💡Автомобиль в путиЕсли ехать со скоростью $v$ км/ч, то путь в $450$ км займёт время $t=\dfrac{450}{v}$ ч. Чем выше скорость — тем меньше время: это обратная пропорциональность $t$ от $v$.
💡Покупка мукиНа $85$ рублей можно купить массу муки $m=\dfrac{85}{n}$ кг, где $n$ — цена за килограмм. Чем дороже мука — тем меньше килограммов получится купить.
График — гипербола из двух ветвей
Построим график функции $y=\dfrac{12}{x}$. Возьмём несколько положительных значений $x$ и противоположных им отрицательных, вычислим $y$ и отметим точки на координатной плоскости:
Через отмеченные точки проводят две плавные линии: сначала соединяют точки с положительными абсциссами, затем — с отрицательными. Получается кривая, которую называют гиперболой. Она состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
Если $k>0$, обе ветви лежат в первой и третьей координатных четвертях. Если $k<0$ — в второй и четвёртой координатных четвертях. Наведи курсор на эти слова, чтобы увидеть обе ситуации на графике справа — или просто перетащи фиолетовую точку.
1
Область определения функции $y=\tfrac{k}{x}$ — все числа, кроме нуля. На графике нет точки с абсциссой $0$: гипербола никогда не касается оси $y$.
2
Ни при каком $x$ значение $y$ не равно нулю (ведь $k\ne0$), поэтому график не пересекает и ось $x$. Обе оси координат для гиперболы — это асимптоты: линии, к которым кривая бесконечно приближается, но никогда их не касается.
3
Чем больше $|x|$, тем ближе точка графика к оси $x$ (ветви «прижимаются» к горизонтальной асимптоте). Чем ближе $x$ к нулю, тем больше $|y|$ (ветви уходят вверх или вниз вдоль вертикальной асимптоты).
⚠️Частая ошибкаОбратную пропорциональность $y=\tfrac{k}{x}$ путают с прямой $y=kx$. В прямой пропорциональности при увеличении $x$ значение $y$ тоже растёт, а в обратной — наоборот, убывает. Ещё одна ошибка — считать, что график проходит через начало координат: это неверно, гипербола никогда не касается осей, ведь $x=0$ не входит в область определения.
🧠ЗапомниОбратная пропорциональность — функция $y=\tfrac{k}{x}$ при $k\ne0$. Её график — гипербола из двух ветвей, симметричных относительно начала координат и не пересекающих оси координат. Если $k>0$ — ветви в I и III четвертях, если $k<0$ — во II и IV.