Алгебра · 8 класс · Глава I · § 3 · п. 3.5 (для тех, кто хочет знать больше)
Представление дроби в виде суммы дробей
Бесконечно много разбиений
Сумму двух рациональных дробей всегда можно записать в виде одной несократимой дроби — этому была посвящена вся тема сложения дробей. А что если пойти в обратную сторону: дана одна дробь, нужно представить её в виде суммы (или разности) двух других? Такая задача, в отличие от сложения, имеет не одно решение.
Например, дробь $\dfrac{4x^2-16x+1}{4x^2}$ можно разбить на сумму по-разному:
Оба равенства верны — просто числитель $4x^2-16x+1$ разбит на слагаемые по-разному. Вообще, если нужно представить дробь $\dfrac{a}{b}$ в виде суммы двух дробей, в качестве одного слагаемого можно взять любую дробь $\dfrac{c}{d}$ — тогда второе слагаемое найдётся как разность $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}$. Вариантов бесконечно много.
Метод неопределённых коэффициентов
Если заранее известны знаменатели, на которые нужно разбить дробь, задача становится однозначной. Для её решения используют метод неопределённых коэффициентов: числители будущих дробей обозначают буквами, а затем находят их значения из условия равенства.
💡Пример 1Представим дробь $\dfrac{7x}{(x-3)(x+4)}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $x-3$ и $x+4$.
1
Допустим, что $\dfrac{7x}{(x-3)(x+4)}=\dfrac{a}{x-3}+\dfrac{b}{x+4}$, где $a$ и $b$ — пока неизвестные числа.
2
Сложим дроби в правой части: $$\frac{a}{x-3}+\frac{b}{x+4}=\frac{a(x+4)+b(x-3)}{(x-3)(x+4)}=\frac{(a+b)x+(4a-3b)}{(x-3)(x+4)}$$
3
Числители дробей слева и справа должны совпадать при любом $x$: $7x = (a+b)x+(4a-3b)$. Значит, $a+b=7$ и $4a-3b=0$. Решив эту систему, получаем $a=3$, $b=4$.
4
Итог: $$\frac{7x}{(x-3)(x+4)}=\frac{3}{x-3}+\frac{4}{x+4}$$ Проверить можно, сложив дроби справа обратно — должна получиться исходная дробь.
Выделение целой части дроби
Другая полезная задача — представить дробь в виде суммы многочлена (целой части) и дроби с уже более простым числителем. Это помогает, например, находить целые значения, которые принимает дробь при разных целых значениях переменной.
💡Пример 2Найдём все пары целых чисел, для которых $x-xy+3y=5$. Выразим $x$ через $y$: $x(1-y)=5-3y$, откуда $x=\dfrac{3y-5}{y-1}$. Выделяя целую часть: $x=\dfrac{3(y-1)-2}{y-1}=3-\dfrac{2}{y-1}$. Дробь $\dfrac{2}{y-1}$ — целое число, только если $y-1$ делит $2$, то есть $y-1\in\{-2,-1,1,2\}$. Отсюда $y=-1;0;2;3$, а пары $(x;y)$: $(4;-1)$, $(5;0)$, $(1;2)$, $(2;3)$.
Пример 3. Найдём, при каких целых $n$ дробь $\dfrac{n^2-2n-10}{n-5}$ принимает целые значения.
1
Разделим многочлен $n^2-2n-10$ на двучлен $n-5$ уголком — так же, как делят натуральные числа. Частное равно $n+3$, остаток равен $5$. Значит, $n^2-2n-10=(n-5)(n+3)+5$.
2
Отсюда $$\frac{n^2-2n-10}{n-5}=n+3+\frac{5}{n-5}$$ Заметим сразу: $n$ не может равняться $5$ — иначе знаменатель обратится в ноль.
3
Слагаемое $n+3$ — целое число при любом целом $n$. Значит, вся дробь целая ровно тогда, когда целой является дробь $\dfrac{5}{n-5}$ — то есть когда $n-5$ является делителем числа 5: $1$, $-1$, $5$ или $-5$.
4
Отсюда дробь принимает целые значения при $n$, равном $0$, $4$, $6$ и $10$. Наведи курсор на любое из этих чисел или кликни по точке на числовой прямой справа — появится посчитанное значение дроби.
⚠️Частая ошибкаУченики иногда думают, что представление дроби в виде суммы — задача с единственным ответом, и пытаются «угадать» чужой вариант разбиения. На самом деле однозначный ответ появляется только тогда, когда знаменатели слагаемых заданы заранее (как в методе неопределённых коэффициентов). Вторая частая ошибка — при делении уголком забыть добавить остаток и написать $\dfrac{n^2-2n-10}{n-5}=n+3$, потеряв дробь $\dfrac{5}{n-5}$ и вместе с ней все ограничения на $n$.
🧠ЗапомниПредставление дроби в виде суммы дробей без заданных знаменателей — неоднозначно. Если знаменатели заданы, используй метод неопределённых коэффициентов: обозначь числители буквами, сложи дроби справа и приравняй числители. Если нужно выделить целую часть — раздели числитель на знаменатель уголком: дробь примет целое значение ровно тогда, когда знаменатель — делитель остатка.