До сих пор в алгебре вы имели дело только с рациональными числами — теми, что можно записать в виде дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число. Каждое такое число можно записать и в виде бесконечной десятичной периодической дроби, например:
Верно и обратное: любая бесконечная периодическая дробь — это некоторое рациональное число. Например, $0{,}(7)=\dfrac{7}{9}$, а $2{,}(36)=2\dfrac{4}{11}$.
Каждому рациональному числу соответствует точка на координатной прямой. Но обратное неверно: на прямой есть точки, у которых нет рациональной координаты. Именно им и посвящена эта глава.
Существуют иррациональные числа
Возьмём единичный квадрат (сторона равна 1) и проведём в нём диагональ $OK$. По теореме Пифагора её длина — это число, квадрат которого равен $1^2+1^2=2$. Докажем, что такого рационального числа не существует.
1
Допустим противное: число, квадрат которого равен $2$, — рационально. Тогда его можно записать несократимой дробью $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое, $n$ — натуральное.
2
Из $\left(\dfrac{m}{n}\right)^2=2$ получаем $m^2=2n^2$. Правая часть чётна, значит, $m^2$ чётно — а тогда и само $m$ чётно (нечётное число в квадрате всегда нечётно).
3
Раз $m$ чётно, запишем $m=2k$. Подставим: $(2k)^2=2n^2$, откуда $4k^2=2n^2$, то есть $n^2=2k^2$ — а значит, $n^2$, а с ним и $n$, тоже чётны.
4
Получили: и $m$, и $n$ — чётные числа. Но тогда дробь $\dfrac{m}{n}$ можно сократить на $2$ — а мы предположили, что она несократима. Противоречие.
5
Значит, предположение неверно: числа, квадрат которого равен $2$, среди рациональных чисел нет. Но точка $K$ на координатной прямой существует — её координате просто соответствует число нового типа, иррациональное.
Множество действительных чисел
📐ОпределениеЕсли к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и число нуль, получится множество чисел, которые называют действительными числами. Обозначается буквой $\mathbb{R}$ (от лат. realis — реальный).
Бесконечные десятичные дроби бывают двух видов: периодические — они представляют рациональные числа, и непериодические — они и есть иррациональные числа (приставка «ир» означает отрицание). Иррациональное число нельзя записать в виде $\dfrac{m}{n}$.
Таким образом: множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
💡Примеры иррациональных чиселЧисло $8{,}0506070809\ldots$ (нули разделяются цифрами, начиная с пяти, каждый раз на 1 больше); число $-3{,}14114111\ldots$; и знаменитое число $\pi=3{,}14159265\ldots$ — отношение длины окружности к диаметру.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, и наоборот — каждой точке соответствует единственное действительное число. Справа — диаграмма всех числовых множеств: попробуй кликнуть по числу и посмотреть, в какие множества оно входит.
Число $7$ — натуральное, значит, оно сразу принадлежит всем множествам $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Число $-3$ — целое, но не натуральное. Дробь $\dfrac{5}{6}$ — рациональное, но не целое. А числа $\pi$ и $8{,}0506\ldots$ — иррациональные: они лежат в $\mathbb{R}$, но не входят в $\mathbb{Q}$.
Сравнение действительных чисел
Действительные числа, записанные бесконечными десятичными дробями, сравнивают по тем же правилам, что и обычные десятичные дроби — разряд за разрядом, слева направо.
💡ПримерСравним $2{,}46366\ldots$ и $2{,}47011\ldots$: целые части и разряд десятых совпадают, а в разряде сотых у первого числа $6$, у второго — $7$. Значит, $2{,}46366\ldots<2{,}47011\ldots$. А из чисел $0{,}253\ldots$ и $-0{,}149\ldots$ больше первое — оно положительное, второе отрицательное.
Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме деления на нуль) — со всеми теми же свойствами, что и у рациональных чисел. На практике иррациональные числа заменяют приближёнными значениями: чем больше знаков берём, тем точнее результат.
Например, для $a=\dfrac13$ и $b=1{,}7132\ldots$ с точностью до $0{,}1$ получаем $a+b\approx0{,}3+1{,}7=2{,}0$, а с точностью до $0{,}01$ — уже $a+b\approx0{,}33+1{,}71=2{,}04$: результат становится точнее.
⚠️Частая ошибкаМногие думают, что раз десятичная дробь бесконечна, то число обязательно иррационально. Это не так: $0{,}(3)=\dfrac13$ — бесконечная дробь, но она периодическая, а значит, рациональная. Иррациональны только непериодические бесконечные дроби — те, в которых нет никакого повторяющегося блока цифр. Вторая ошибка — считать, что $\mathbb{Q}=\mathbb{R}$: на самом деле рациональных чисел бесконечно много, но иррациональных на координатной прямой ещё больше.
🧠Запомни$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\{\text{иррациональные числа}\}$. Периодическая бесконечная дробь — рациональное число, непериодическая — иррациональное. Каждой точке координатной прямой соответствует ровно одно действительное число, и наоборот. Действительные числа сравнивают поразрядно, как обычные десятичные дроби, а складывают и умножают через приближённые значения.