Пусть площадь квадрата равна $64$ см². Чему равна длина его стороны? Обозначим сторону (в сантиметрах) буквой $x$. Тогда площадь квадрата — $x^2$ см², и по условию $x^2=64$.
Корнями этого уравнения являются числа $8$ и $-8$: действительно, $8^2=64$ и $(-8)^2=64$. Но длина стороны не может быть отрицательной, поэтому условию задачи удовлетворяет только $8$. Итак, сторона квадрата равна $8$ см.
Числа, квадрат которых равен $64$, называют квадратными корнями из числа $64$.
📐ОпределениеКвадратным корнем из числа $a$ называют число, квадрат которого равен $a$.
Число $8$ — неотрицательный корень уравнения $x^2=64$ — называют арифметическим квадратным корнем из $64$.
📐ОпределениеАрифметическим квадратным корнем из числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
Обозначение и условие существования
Арифметический квадратный корень из числа $a$ обозначают $\sqrt{a}$. Знак $\sqrt{\ \ }$ называют знаком арифметического квадратного корня, или знаком радикала. Выражение под знаком корня называют подкоренным выражением. Запись $\sqrt{a}$ читают «квадратный корень из $a$» (слово «арифметический» при чтении опускают).
$\sqrt{4}=$ $2$, так как $2$ — неотрицательное число и $2^2=4$;
$\sqrt{1{,}21}=$ $1{,}1$, так как $1{,}1$ — неотрицательное число и $1{,}1^2=1{,}21$;
$\sqrt{0}=$ $0$, так как $0$ — неотрицательное число и $0^2=0$.
🚫Область существованияПри $a<0$ выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла. Например, $\sqrt{-4}$ не имеет смысла — не существует числа, квадрат которого равен отрицательному числу.
Из определения арифметического квадратного корня следует: если $\sqrt{5x-1}=7$, то подкоренное выражение равно квадрату правой части: $5x-1=7^2$, то есть $5x-1=49$.
⚠️Частая ошибкаНе путай квадратный корень (у числа $64$ их два: $8$ и $-8$) с арифметическим квадратным корнем $\sqrt{64}$ — он всегда только один и всегда неотрицателен: $\sqrt{64}=8$, а не $\pm8$. Вторая ошибка — забыть про область существования: выражение $\sqrt{a}$ определено только при $a\ge0$, и попытка «вычислить» $\sqrt{-9}$ — бессмысленна, а не равна $-3$ или любому другому числу.
🧠Запомни$\sqrt{a}=b$, если одновременно $b\ge0$ и $b^2=a$. Знак $\sqrt{\ \ }$ — знак арифметического (то есть единственного, неотрицательного) квадратного корня. При $a<0$ выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла.