Арифметический квадратный корень

Определение квадратного корня

Пусть площадь квадрата равна $64$ см². Чему равна длина его стороны? Обозначим сторону (в сантиметрах) буквой $x$. Тогда площадь квадрата — $x^2$ см², и по условию $x^2=64$.

Корнями этого уравнения являются числа $8$ и $-8$: действительно, $8^2=64$ и $(-8)^2=64$. Но длина стороны не может быть отрицательной, поэтому условию задачи удовлетворяет только $8$. Итак, сторона квадрата равна $8$ см.

Числа, квадрат которых равен $64$, называют квадратными корнями из числа $64$.

Число $8$ — неотрицательный корень уравнения $x^2=64$ — называют арифметическим квадратным корнем из $64$.

Обозначение и условие существования

Арифметический квадратный корень из числа $a$ обозначают $\sqrt{a}$. Знак $\sqrt{\ \ }$ называют знаком арифметического квадратного корня, или знаком радикала. Выражение под знаком корня называют подкоренным выражением. Запись $\sqrt{a}$ читают «квадратный корень из $a$» (слово «арифметический» при чтении опускают).

Примеры извлечения арифметических квадратных корней:

$\sqrt{4}=$ $2$, так как $2$ — неотрицательное число и $2^2=4$;
$\sqrt{1{,}21}=$ $1{,}1$, так как $1{,}1$ — неотрицательное число и $1{,}1^2=1{,}21$;
$\sqrt{0}=$ $0$, так как $0$ — неотрицательное число и $0^2=0$.

Вообще выполняется правило:

$$\sqrt{a}=b,\ \text{если}\ b\ge0\ \text{и}\ b^2=a$$

Пример: решение уравнения с корнем

Пользуясь определением арифметического квадратного корня, можно решать уравнения, содержащие квадратные корни. Решим уравнение $\sqrt{5x-1}=7$.