Вы уже знакомы с графиком функции $y=x^2$ — это парабола. У неё есть важные особенности: если $x=0$, то $y=0$, поэтому график проходит через начало координат; если $x\ne0$, то $y>0$, значит все точки графика, кроме $(0;0)$, лежат выше оси $x$; а противоположным значениям $x$ соответствует одно и то же значение $y$ — график симметричен относительно оси $y$.
С помощью этого графика можно находить корни уравнения $x^2=a$, где $a$ — произвольное число. В зависимости от знака числа $a$ возможны три случая.
Три случая в зависимости от a
🚫Если a < 0уравнение $x^2=a$ корней не имеет. Не существует числа, квадрат которого равен отрицательному числу.
•Если a = 0уравнение имеет единственный корень $x=0$, так как только $0^2=0$.
••Если a > 0уравнение имеет два корня. Прямая $y=a$ пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Так как $x_2>0$ и $x_2^2=a$, то $x_2=\sqrt{a}$ — это арифметический квадратный корень из $a$. А $x_1$ противоположно $x_2$, значит $x_1=-\sqrt{a}$.
$$x_1=-\sqrt{a},\qquad x_2=\sqrt{a}$$
Примеры
Уравнение $x^2=6{,}25$ имеет корни $x_1=-\sqrt{6{,}25}=-2{,}5$ и $x_2=\sqrt{6{,}25}=2{,}5$.
Уравнение $x^2=\frac{4}{9}$ имеет корни $x_1=-\frac{2}{3}$ и $x_2=\frac{2}{3}$.
А вот уравнение $x^2=2$ имеет корни $x_1=-\sqrt2$ и $x_2=\sqrt2$ — это иррациональные числа: не существует рационального числа, квадрат которого равен $2$. По графику можно найти лишь приближённые значения: $\sqrt2\approx1{,}4$. Так же устроены уравнения $x^2=3$, $x^2=5$, $x^2=6{,}5$ — их корни тоже иррациональны.
🧠Важный выводПри любом $a\ge0$ уравнение $x^2=a$ имеет неотрицательный корень $\sqrt{a}$ — значит выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл при любом $a\ge0$. И при любом $a$, при котором $\sqrt{a}$ имеет смысл, верно равенство $(\sqrt{a})^2=a$.
Пример: решаем уравнение $x^2=6{,}25$
1
Число $6{,}25>0$, значит уравнение имеет два корня.
2
Находим арифметический квадратный корень: $\sqrt{6{,}25}=2{,}5$, так как $2{,}5\ge0$ и $2{,}5^2=6{,}25$.
3
Записываем оба корня: $x_1=-2{,}5$, $x_2=2{,}5$.
⚠️Частая ошибкаМногие пишут только один корень $x=\sqrt{a}$, забывая про второй, отрицательный — $x=-\sqrt{a}$. У уравнения $x^2=a$ (в отличие от выражения $\sqrt{a}$, которое всегда одно неотрицательное число) при $a>0$ два корня. И не забывай проверять знак $a$ — при $a<0$ корней нет вовсе, а не «мнимое» число.