Алгебра 7 класс: Периодические десятичные дроби

Когда деление уголком не заканчивается

Мы уже знаем: если знаменатель несократимой дроби $\dfrac{p}{q}$ имеет простой делитель, отличный от $2$ и $5$, то дробь не разлагается в конечную десятичную дробь. Посмотрим, что тогда происходит при делении уголком.

Возьмём дробь $\dfrac{7}{9}$. Она несократима, а её знаменатель $9 = 3^2$ имеет делитель $3$ — значит, конечной десятичной дроби не получится. Разделим $7$ на $9$ уголком:

Определение. Выражение $0{,}777\ldots$, в котором одна и та же цифра (или группа цифр) повторяется бесконечно много раз, называют бесконечной периодической десятичной дробью, или коротко — периодической дробью. Её записывают короче: $0{,}(7)$ — читают «нуль целых и семь в периоде». Цифру (или группу цифр) $7$, которая повторяется, называют периодом дроби.

Значит, $\dfrac{7}{9} = 0{,}777\ldots = 0{,}(7)$ — это два разных обозначения одного и того же числа: в виде обыкновенной дроби и в виде периодической дроби. Проверь это на вкладке $\dfrac{7}{9}$ справа: нажимай «Следующая цифра» и следи за остатком под каждой цифрой — как только остаток повторится, начнётся период.

Период может состоять из нескольких цифр

Разделим $2$ на $99$ уголком: $2 : 99 = 0{,}0202\ldots$ Здесь процесс тоже бесконечный, но повторяется не одна цифра, а целая группа — $02$. Такую дробь тоже называют периодической и записывают так: $0{,}(02)$ — читают «нуль целых и нуль два в периоде».

Значит, $\dfrac{2}{99} = 0{,}0202\ldots = 0{,}(02)$. Проверь на вкладке $\dfrac{2}{99}$ справа: остаток повторится только через два шага — значит, и период состоит из двух цифр.

⚠️ Частая ошибка: ученики иногда угадывают период «на глаз» и берут в скобки не ту группу цифр. Например, дробь $2/99$ иногда записывают как $0{,}0(2)$ — будто в периоде только цифра $2$. Это неверно: $0{,}0(2) = 0{,}0222\ldots$, а это другое число ($=\dfrac{1}{45}$), не равное $\dfrac{2}{99} = 0{,}0202\ldots$ Period нужно определять только по факту повторения остатка при делении уголком, а не подбирать на глаз.

Период не обязан начинаться сразу после запятой

Иногда перед повторяющейся группой стоят ещё несколько цифр, которые сами не повторяются. Например: число вида $\ldots\!/11 = 0{,}1717\ldots = 0{,}(17)$; число вида $\ldots\!/90 = 3{,}1777\ldots = 3{,}1(7)$; число вида $\ldots\!/900 = 0{,}11222\ldots = 0{,}11(2)$.

В примере $3{,}1(7)$ цифра $1$ после запятой не повторяется — она стоит перед периодом один раз, а вот $7$ повторяется бесконечно. Читают такую запись так: «три целых, одна десятая и семь в периоде». Проверь похожий случай на вкладке $\dfrac{1}{6}$ справа — там перед периодом тоже стоит одна «лишняя» цифра.

Применяя деление уголком к любой несократимой дроби $\dfrac{p}{q}$, у которой знаменатель имеет простые делители, отличные от $2$ и $5$, всегда получается бесконечная периодическая дробь — рано или поздно остаток обязательно повторится (ведь остатков при делении на $q$ существует не более $q$ штук, а деление бесконечно).

А если дробь конечная?

Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, её тоже можно записать как бесконечную периодическую дробь — только с периодом $0$. Например:

$$27 = 27{,}0 = 27{,}000\ldots = 27{,}(0), \qquad 0{,}354 = 0{,}354000\ldots = 0{,}354(0)$$

Значит, любое целое число и любую конечную десятичную дробь тоже можно считать периодической дробью — с периодом $0$.

🧠 Запомни: любое положительное рациональное число $\dfrac{p}{q}$ разлагается в периодическую дробь (конечную десятичную дробь можно считать периодом «$0$»). Верно и обратное: любая периодическая дробь — это десятичная запись некоторого рационального числа $\dfrac{p}{q}$. Оба утверждения будут обоснованы в следующем пункте.

← Глава 1 · §2 · п.2 Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь Все темы Глава 1 · §2 · п.4* → Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Дели уголком и следи за остатком под каждой цифрой — как только остаток повторится, начнётся период!