Почему деление уголком никогда не «зависает» без результата
Мы уже видели: если знаменатель несократимой дроби $\dfrac{p}{q}$ имеет простой делитель,
отличный от $2$ и $5$, то при делении уголком получается бесконечная периодическая дробь.
Но почему остатки обязательно начинают повторяться? Разберём это на примере дроби
$\dfrac{1372}{65}$.
1
Знаменатель $65 = 5 \cdot 13$ имеет простой делитель $13$, отличный от $2$ и $5$ —
значит, дробь $\dfrac{1372}{65}$ не может дать конечную десятичную дробь.
2
Раз конечной дроби не получится, то при делении $1372$ на $65$ уголком остаток
никогда не станет равным нулю — деление продолжается бесконечно.
3
Но каждый остаток от деления на $65$ — это одно из чисел $1, 2, 3, \ldots, 64$,
то есть всего существует только $64$ разных возможных остатка.
4
Если выписать подряд первые $65$ остатков, среди них обязательно найдутся два
одинаковых — ведь остатков в списке больше, чем возможных значений
(это называют принципом Дирихле, или принципом «ящиков и кроликов»).
5
Как только остаток повторился — весь дальнейший процесс деления повторится
один в один: следующая цифра частного и следующий остаток зависят только от текущего
остатка. Значит, десятичное разложение $\dfrac{1372}{65}$ обязательно периодическое.
Теорема. Эти рассуждения верны для любой несократимой
дроби $\dfrac{p}{q}$: остатков при делении на $q$ существует не больше $q$ штук, значит
рано или поздно один из них обязательно повторится. Поэтому любое
положительное рациональное число $\dfrac{p}{q}$ разлагается либо в конечную, либо в
бесконечную периодическую десятичную дробь (конечную дробь тоже считаем периодической —
с периодом $0$).
А можно ли наоборот — из периодической дроби получить обыкновенную?
Верно и обратное утверждение: любая периодическая дробь — это десятичная
запись некоторого положительного рационального числа $\dfrac{p}{q}$. Покажем приём, которым
это число находится, — обозначим искомую дробь через $x$, а затем домножим равенство на
подходящие степени $10$, чтобы periods «сдвинулись» и совпали.
Попробуй сам на примерах $0{,}(8)$,
$2{,}35(7)$ и
$0{,}(0108)$ справа: нажимай «Показать
следующий шаг» и следи, как из бесконечной периодической дроби появляется обычная дробь
$\dfrac{p}{q}$.
Особый случай — период 9
Рассуждая тем же способом, получаем удивительный факт: $2{,}4(0) = 2{,}3(9) = 2{,}4$.
Значит, конечную десятичную дробь всегда можно записать ещё и как периодическую дробь с
периодом $9$:
⚠️ Частая ошибка: при обращении периодической дроби в обыкновенную ученики
часто забывают про цифры между запятой и периодом (как $3$ и $5$ в
$2{,}35(7)$) и умножают равенство сразу на $10$ и на $100$ вместо $100$ и $1000$. Степень
$10$ должна «дотягивать» ровно до конца нужной части числа: первый раз — до конца
неповторяющихся цифр после запятой, второй раз — до конца первого периода.
🧠 Запомни: при делении уголком дробь с периодом $9$ получиться не может
(мы всегда получим либо конечную дробь, либо период, отличный от $9$), поэтому периодические
дроби с периодом $9$ на практике обычно не рассматривают — их сразу заменяют равной им
конечной десятичной дробью.