Мы уже знаем: если число $a$ не является квадратом целого или дробного рационального числа, то $\sqrt{a}$ — иррациональное число. Например, $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\sqrt5$ нельзя записать в виде конечной или периодической десятичной дроби. Но на практике нам почти всегда нужно не точное, а приближённое значение корня — например, чтобы найти сторону квадратного участка земли по его площади.
Разберёмся, как находить такие приближённые значения «вручную», разряд за разрядом — без калькулятора.
Идея метода: сужаем «вилку»
🎯Суть способаЧтобы найти $\sqrt a$ с какой-то точностью, мы ищем два соседних числа с нужным числом знаков после запятой — такие, что квадрат меньшего числа не больше $a$, а квадрат большего числа больше $a$. Тогда $\sqrt a$ находится строго между ними.
Действуем по шагам, уточняя ответ на один десятичный разряд за раз:
Находим два соседних целых числа, между которыми лежит $\sqrt a$.
Возводим в квадрат числа с одним знаком после запятой (1,1; 1,2; 1,3; …), пока не «перескочим» через $a$ — так находим цифру десятых.
Так же находим цифру сотых, потом тысячных — и можем продолжать сколь угодно долго, повышая точность.
Так на калькуляторе устроена и кнопка $\sqrt{\phantom{x}}$: она использует похожий, но более быстрый вычислительный приём.
Пример: находим $\sqrt2$ с точностью до сотых
1
2
3
Продолжая этот процесс дальше, получаем $\sqrt2\approx1{,}414$. Знак $\approx$ здесь обязателен — это не точное равенство, а округление.
💡Из жизниПлощадь квадратной клумбы равна 18 м². Чтобы понять, сколько метров плёнки для бордюра купить, нужна сторона клумбы: $x=\sqrt{18}$. Это иррациональное число, но купить «иррациональное количество» плёнки нельзя — берём приближённое значение $\sqrt{18}\approx4{,}2$ м и округляем в бо́льшую сторону, с запасом.
⚠️Частая ошибкаУченики часто сразу «на глаз» округляют корень до ближайшего числа, минуя пошаговый поиск разрядов — например, пишут $\sqrt2\approx1{,}5$, потому что $1{,}5$ ближе к «середине» между 1 и 2. На самом деле нужно именно проверять квадраты кандидатов по разрядам: $1{,}4^2=1{,}96$ ещё меньше 2, а $1{,}5^2=2{,}25$ уже больше — значит верная цифра десятых это 4, а не 5. Округление на глаз без проверки квадратом — источник ошибки.
🧠ЗапомниПриближённое значение $\sqrt a$ ищут, «зажимая» число $a$ между квадратами двух соседних десятичных дробей нужной точности: $b^2\le a$, а следующий кандидат в квадрате уже больше $a$. Так можно найти любое число верных знаков после запятой. На практике для этого пользуются калькулятором или таблицами квадратных корней.