8 класс · Квадратные корни

Функция y = √x и её график

Функция y = √x — обратная к y = x²

Пусть длина стороны квадрата равна $a$ см, а его площадь равна $S$ см². Каждому значению стороны $a$ соответствует единственное значение площади: $S=a^2$, где $a\ge0$. Но верно и обратное: по известной площади можно однозначно восстановить сторону — $a=\sqrt S$.

Если независимую переменную в обеих формулах обозначить буквой $x$, а зависимую — буквой $y$, получаются две «зеркальные» функции:

$$y=x^2,\ \text{где}\ x\ge0, \qquad\text{и}\qquad y=\sqrt x.$$

Графиком первой из них служит правая ветвь параболы. Разберёмся, как выглядит и как ведёт себя график функции $y=\sqrt x$.

📐 Область определенияВыражение $\sqrt x$ имеет смысл только при $x\ge0$. Поэтому областью определения функции $y=\sqrt x$ служит множество всех неотрицательных чисел — отрицательных значений $x$ у этой функции просто не бывает.

Строим график по таблице значений

Составим таблицу и отметим точки на координатной плоскости, а затем соединим их плавной линией, начиная от начала координат:

$$\begin{array}{c|cccccccccc} x & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 9 \\ \hline y & 0 & 0{,}7 & 1 & 1{,}4 & 1{,}7 & 2 & 2{,}2 & 2{,}4 & 2{,}6 & 3 \end{array}$$

Получившаяся кривая — снова ветвь параболы, только «повёрнутая на бок». Перетащи фиолетовую точку на графике вдоль этой кривой — рядом будут появляться её координаты.

Сформулируем свойства функции $y=\sqrt x$, которые видны на графике:

1
Если $x=0$, то $y=0$ — начало координат принадлежит графику функции.
2
Если $x>0$, то $y>0$ — весь график расположен в первой координатной четверти.
3
Большему значению аргумента соответствует большее значение функции: график идёт вверх. Например, $\sqrt6>\sqrt3$, а $\sqrt{2{,}6}>\sqrt{1{,}5}$.

Симметрия с графиком y = x²

Пусть точка $M(a;b)$ лежит на графике $y=x^2$, где $x\ge0$. Тогда $b=a^2$, а значит $a=\sqrt b$ (ведь $a\ge0$). Получается, что точка $N(b;a)$ — с теми же координатами, но переставленными местами — лежит уже на графике $y=\sqrt x$. И наоборот: любой точке графика $y=\sqrt x$ так же соответствует точка графика $y=x^2$.

А точки $M(a;b)$ и $N(b;a)$ всегда симметричны относительно прямой $y=x$. Значит, и сами графики функций $y=x^2$ ($x\ge0$) и $y=\sqrt x$ симметричны относительно прямой $y=x$ — они как бы отражают друг друга, будто в зеркале, поставленном по диагонали.

💡 Из жизниВремя падения тела с высоты $h$ метров (без учёта сопротивления воздуха) находится по формуле $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$, где $g\approx9{,}8$ м/с². Чем больше высота — тем больше время падения, но растёт оно медленнее, чем сама высота: с четырёхкратным увеличением высоты время падения увеличивается лишь вдвое — совсем как у графика $y=\sqrt x$.
⚠️ Частая ошибкаУченики иногда считают, что раз $y=\sqrt x$ — «половина» параболы $y=x^2$, то и её график занимает половину плоскости, включая отрицательные $x$. На самом деле область определения — только $x\ge0$: при $x<0$ выражение $\sqrt x$ вообще не имеет смысла, и график там просто отсутствует, а не «продолжается» каким-то образом.
🧠 ЗапомниФункция $y=\sqrt x$ определена при $x\ge0$, её график — ветвь параболы, проходящая через начало координат и лежащая в первой координатной четверти; с ростом $x$ значение $y$ тоже растёт. Графики $y=\sqrt x$ и $y=x^2$ (при $x\ge0$) симметричны относительно прямой $y=x$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике