8 класс · Квадратные корни

Корень из произведения и дроби

Корень из произведения

Сравним значения выражений $\sqrt{81\cdot4}$ и $\sqrt{81}\cdot\sqrt4$:

$$\sqrt{81\cdot4}=\sqrt{324}=18,\qquad \sqrt{81}\cdot\sqrt4=9\cdot2=18.$$

Получились одинаковые числа: $\sqrt{81\cdot4}=\sqrt{81}\cdot\sqrt4$. Оказывается, таким свойством обладает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел — извлекать корень из большого произведения можно «по частям».

📐 Теорема 1. Корень из произведенияЕсли $a\ge0$ и $b\ge0$, то $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ — корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Докажем это: каждое из выражений $\sqrt a$·$\sqrt b$ и $\sqrt{ab}$ имеет смысл, так как $a\ge0$ и $b\ge0$. По определению арифметического корня достаточно показать, что $\sqrt a\cdot\sqrt b\ge0$ и что $(\sqrt a\cdot\sqrt b)^2=ab$.

Оба выражения — $\sqrt a\cdot\sqrt b$ и $\sqrt{ab}$ — имеют смысл, так как $a\ge0$ и $b\ge0$.

$\sqrt a\ge0$ и $\sqrt b\ge0$, поэтому их произведение $\sqrt a\cdot\sqrt b\ge0$ — первое условие определения корня выполнено.

По свойству степени произведения $(\sqrt a\cdot\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2\cdot(\sqrt b)^2=ab$ — второе условие тоже выполнено. Значит, по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$.

Теорема распространяется и на большее число множителей: если $a\ge0$, $b\ge0$, $c\ge0$, то $\sqrt{abc}=\sqrt a\cdot\sqrt b\cdot\sqrt c$, ведь $\sqrt{abc}=\sqrt{(ab)c}=\sqrt{ab}\cdot\sqrt c=\sqrt a\cdot\sqrt b\cdot\sqrt c$.

Корень из дроби

Похожим свойством обладает и корень из дроби:

📐 Теорема 2. Корень из дробиЕсли $a\ge0$ и $b>0$, то $\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ — корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Доказывается теорема 2 точно так же, как теорема 1: проверяются два условия — неотрицательность $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ и равенство $\left(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\right)^2=\dfrac ab$.

Оба тождества работают и «в обратную сторону» — этим пользуются при умножении и делении корней: $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ и $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$.

Примеры применения

Пример 1. $\sqrt{64}\cdot\sqrt{0{,}04}=\sqrt{64\cdot0{,}04}=8\cdot0{,}2=1{,}6$ — произведение корней свернули в один корень.

Пример 2. Чтобы найти $\sqrt{32\cdot98}$, разложим числа на множители, среди которых есть точные квадраты:

$$\sqrt{32\cdot98}=\sqrt{(16\cdot2)\cdot(49\cdot2)}=\sqrt{16\cdot49\cdot4}=4\cdot7\cdot2=56.$$

Пример 3. $\sqrt{\dfrac{36}{169}}=\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{169}}=\dfrac6{13}$ — корень из дроби превратился в дробь из корней.

Пример 4. $\sqrt{20}\cdot\sqrt5=\sqrt{20\cdot5}=\sqrt{100}=10$ — а вот обратное действие: произведение двух «некрасивых» корней свернули под один знак корня и получили целое число.

          💡
          Из жизниПлиточник рассчитывает сторону квадратной плитки площадью $0{,}64\cdot25=16$ м². Можно сразу извлечь $\sqrt{16}=4$ м, а можно — если числа под рукой не перемножены — посчитать $\sqrt{0{,}64}\cdot\sqrt{25}=0{,}8\cdot5=4$ м. Свойство корня из произведения позволяет выбрать более удобный по числам способ счёта, результат всегда один и тот же.
        

⚠️ Частая ошибкаСвойство $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ работает только для произведения и частного. Для суммы и разности оно неверно: $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$. Например, $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, а $\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7$ — числа разные. Корень нельзя «раскидывать» по слагаемым, только по множителям.

🧠 ЗапомниПри $a\ge0,\ b\ge0$: $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$. При $a\ge0,\ b>0$: $\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$. Обе формулы работают в обе стороны и помогают как сворачивать произведение/частное корней в один корень, так и раскладывать корень из большого числа на множители.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике