В обоих примерах корень из квадрата числа равен модулю этого числа: $\sqrt{5^2}=|5|$, $\sqrt{(-6)^2}=|-6|$. Это не совпадение — так происходит для любого $x$.
📐Теорема. Корень из квадратаПри любом значении $x$ верно равенство $$\sqrt{x^2}=|x|.$$
Докажем это, рассмотрев два случая: $x\ge0$ и $x<0$.
1
Если $x\ge0$, то по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2}=x$. А так как $x\ge0$, то $x=|x|$ — значит, и в этом случае $\sqrt{x^2}=|x|$.
2
Если $x<0$, то $-x>0$, поэтому $\sqrt{x^2}=\sqrt{(-x)^2}=-x$. А так как $x<0$, то $|x|=-x$ — значит, и здесь $\sqrt{x^2}=|x|$.
В обоих случаях значение $\sqrt{x^2}$ совпало со значением $|x|$ — значит, равенство $\sqrt{x^2}=|x|$ верно при любом $x$.
Корень из степени с чётным показателем
Тождество $\sqrt{x^2}=|x|$ применяют при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем: подкоренное выражение представляют в виде квадрата другого выражения и пользуются тождеством.
Пример 1. Упростим $\sqrt{a^{16}}$. Представим $a^{16}=(a^8)^2$:
$$\sqrt{a^{16}}=\sqrt{(a^8)^2}=|a^8|.$$
Так как $a^8\ge0$ при любом $a$, то $|a^8|=a^8$. Итак, $\sqrt{a^{16}}=a^8$.
Пример 2. Преобразуем $\sqrt{x^{10}}$, где $x<0$. Представим $x^{10}=(x^5)^2$:
$$\sqrt{x^{10}}=\sqrt{(x^5)^2}=|x^5|.$$
Так как $x<0$, то $x^5<0$, поэтому $|x^5|=-x^5$. Значит, при $x<0$ получаем $\sqrt{x^{10}}=-x^5$.
Пример 3. Найдём $\sqrt{893025}$, разложив число на простые множители:
💡Из жизниПройденный путь по прямой дороге всегда неотрицателен, даже если считать его через квадрат перемещения. Если координата точки изменилась на $x=-6$ метров (то есть точка сдвинулась на 6 м назад), то «расстояние» $\sqrt{x^2}=\sqrt{36}=6$ метров — знак направления теряется, остаётся только длина пути. Именно поэтому корень из квадрата даёт модуль, а не само число.
⚠️Частая ошибкаМногие сокращают $\sqrt{x^2}$ до $x$, забывая проверить знак. Но $\sqrt{x^2}$ — это арифметический корень, а он всегда $\ge0$. Например, $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$, а вовсе не $-5$. Верная запись — только через модуль: $\sqrt{x^2}=|x|$, и лишь при известном знаке $x$ модуль можно раскрыть без черты.
🧠Запомни$\sqrt{x^2}=|x|$ при любом $x$. Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем $2n$, представь подкоренное выражение в виде квадрата $(a^n)^2$ и примени тождество: $\sqrt{a^{2n}}=|a^n|$.