8 класс · Квадратные корни

Вынесение и внесение множителя за знак корня

Вынесение и внесение множителя

Сравним значения выражений $\sqrt{50}$ и $6\sqrt2$. Для этого преобразуем $\sqrt{50}$: представим число $50$ в виде произведения $25\cdot2$ и применим теорему о корне из произведения:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2.$$

Так как $5\sqrt2<6\sqrt2$, то $\sqrt{50}<6\sqrt2$. Мы заменили $\sqrt{50}$ равным ему произведением $5\sqrt2$ — множитель $5$ «вышел» из-под корня. Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня.

Сравнить эти же выражения можно и иначе — представив $6\sqrt2$ в виде арифметического квадратного корня. Заменим $6$ на $\sqrt{36}$ и перемножим корни:

$$6\sqrt2=\sqrt{36}\cdot\sqrt2=\sqrt{72}.$$

Так как $50<72$, то $\sqrt{50}<\sqrt{72}$, значит снова $\sqrt{50}<6\sqrt2$. На этот раз мы, наоборот, спрятали множитель $6$ под корень — это внесение множителя под знак корня.

📐 Вынесение и внесение множителяЕсли $n=a^2\cdot b$ и $a\ge0$, то $$\sqrt{n}=\sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=a\sqrt{b}.$$ Переход слева направо — вынесение множителя $a$ из-под корня, справа налево — его внесение под корень.

Разберём буквенный пример — вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{a^7}$. Тот же принцип «вынесения a прыжков» виден и на числовой прямой справа — там роль множителя $a$ играет число прыжков.

1
Выражение $\sqrt{a^7}$ имеет смысл лишь при $a\ge0$ — ведь если $a<0$, то $a^7<0$, а под арифметическим корнем не может стоять отрицательное число.
2
Представим подкоренное выражение $a^7$ в виде произведения $a^6\cdot a$, где множитель $a^6$ — степень с чётным показателем, то есть квадрат: $a^6=(a^3)^2$.
3
Тогда $$\sqrt{a^7}=\sqrt{a^6\cdot a}=\sqrt{a^6}\cdot\sqrt a=\sqrt{(a^3)^2}\cdot\sqrt a=|a^3|\cdot\sqrt a=a^3\sqrt a$$ (модуль раскрылся без знака минус, так как уже известно, что $a\ge0$, а значит и $a^3\ge0$).

Когда множитель нельзя внести под корень напрямую

Пример. Внесём множитель под знак корня в выражении $-4\sqrt x$.

Отрицательный множитель $-4$ нельзя представить в виде арифметического квадратного корня — ведь корень всегда $\ge0$. Поэтому под корень вносят только положительную часть множителя, а минус оставляют снаружи:

$$-4\sqrt x=-1\cdot4\sqrt x=-1\cdot\sqrt{16}\cdot\sqrt x=-\sqrt{16x}.$$

Пример. Внесём множитель под знак корня в выражении $a\sqrt2$, где знак $a$ неизвестен — $a$ может быть любым числом.

Раз знак $a$ неизвестен, приходится рассмотреть два случая:

если $a\ge0$, то $a\sqrt2=|a|\sqrt2=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt2=\sqrt{2a^2}$;

если $a<0$, то $a\sqrt2=-|a|\sqrt2=-\sqrt{a^2}\cdot\sqrt2=-\sqrt{2a^2}$.

💡 Из жизниВынесение множителя из-под корня — это как упаковка одинаковых пар обуви в коробки: если под корнем «спрятано» $25\cdot2$, то из $25$ можно «достать» целую пятёрку пар (ведь $\sqrt{25}=5$), а непарный «одиночный» множитель $2$ так и останется под корнем. Никакой новой величины не появляется — просто одна и та же величина записана компактнее.
⚠️ Частая ошибкаВнося под корень выражение вида $a\sqrt b$, часто сразу пишут $\sqrt{a^2b}$ и для отрицательного, и для положительного $a$ — забывая, что арифметический корень не может быть отрицательным. Если $a<0$, то $a\sqrt b<0$, а $\sqrt{a^2b}\ge0$ — эти выражения не могут быть равны! В этом случае минус нужно оставить перед корнем: $a\sqrt b=-\sqrt{a^2b}$.
🧠 ЗапомниВынесение: если $n=a^2b$ и $a\ge0$, то $\sqrt{n}=a\sqrt b$. Внесение: если $a\ge0$, то $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$; если $a<0$, то $a\sqrt b=-\sqrt{a^2b}$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике