Алгебра · 8 класс · Глава II · § 6 · п. 6.2

Преобразование выражений с квадратными корнями

Приведение подобных радикалов

Мы уже умеем выносить множитель из-под знака корня, вносить его под корень, умножать и делить корни. Теперь научимся сочетать эти приёмы, чтобы упрощать более сложные выражения — суммы подобных корней, дроби с корнями в числителе или знаменателе.

Пример 1. Упростим выражение $3\sqrt{5a}-\sqrt{20a}+4\sqrt{45a}$.

Разберём преобразование по шагам — в каждом слагаемом вынесем множитель из-под корня, чтобы получить одинаковый радикал $\sqrt{5a}$ во всех трёх слагаемых.

1
В выражении $\sqrt{20a}$ вынесем множитель $2$: $\sqrt{20a}=\sqrt{4\cdot5a}=2\sqrt{5a}$.
2
В выражении $4\sqrt{45a}$ вынесем множитель $3$ из-под корня: $4\sqrt{45a}=4\sqrt{9\cdot5a}=4\cdot3\sqrt{5a}=12\sqrt{5a}$.
3
Теперь во всех трёх слагаемых один и тот же радикал $\sqrt{5a}$ — приведём подобные слагаемые, как при сложении многочленов: $$3\sqrt{5a}-2\sqrt{5a}+12\sqrt{5a}=\sqrt{5a}\cdot(3-2+12)=13\sqrt{5a}.$$

Разность квадратов помогает сократить дробь

📐 Разность квадратов с корнямиЕсли $a\ge0$ и $b\ge0$, то $\sqrt a$ и $\sqrt b$ — это тоже «квадраты» под формулу сокращённого умножения: $$a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b).$$

Пример 2. Сократим дробь $\dfrac{x^2-3}{x+\sqrt3}$.

Так как $3=(\sqrt3)^2$, числитель — это разность квадратов $x^2$ и $(\sqrt3)^2$. Раскладываем его на множители и сокращаем дробь на общий множитель $x+\sqrt3$:

$$\dfrac{x^2-3}{x+\sqrt3}=\dfrac{x^2-(\sqrt3)^2}{x+\sqrt3}=\dfrac{(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)}{x+\sqrt3}=x-\sqrt3.$$

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Часто дробь с корнем в знаменателе неудобно вычислять «в столбик» — гораздо удобнее сначала избавиться от корня в знаменателе, преобразовав дробь в тождественно равную ей.

Пример 3. Преобразуем дробь $\dfrac{c}{\sqrt2}$ так, чтобы знаменатель не содержал корня. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt2$:

$$\dfrac{c}{\sqrt2}=\dfrac{c\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac{c\sqrt2}{2}.$$

Если же в знаменателе стоит сумма или разность с корнем, одного множителя мало — умножают на сопряжённое выражение, то есть на такое же выражение, но с противоположным знаком между слагаемыми. Тогда в знаменателе сработает разность квадратов, и корень исчезнет.

Пример 4. Выясним, между какими соседними целыми числами лежит значение $\dfrac{4-3\sqrt6}{\sqrt6-1}$.

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt6+1$:

$$\dfrac{4-3\sqrt6}{\sqrt6-1}=\dfrac{(4-3\sqrt6)(\sqrt6+1)}{(\sqrt6-1)(\sqrt6+1)}=\dfrac{4\sqrt6-3(\sqrt6)^2+4-3\sqrt6}{(\sqrt6)^2-1}=\dfrac{\sqrt6-18+4}{5}=\dfrac{\sqrt6-14}{5}.$$

Так как $2<\sqrt6<3$, то $-12<\sqrt6-14<-11$, а значит $-2{,}4<\dfrac{\sqrt6-14}{5}<-2{,}2$. Получаем $-3<\dfrac{\sqrt6-14}{5}<-2$ — значение заключено между $-3$ и $-2$.

Справа — интерактивный тренажёр: выбери дробь и посмотри, на что нужно умножить числитель и знаменатель, чтобы знаменатель стал рациональным числом.

💡 Из жизниОсвобождение от иррациональности в знаменателе похоже на обмен валюты перед поездкой: считать в «неудобной» валюте (корень в знаменателе) можно, но неудобно, поэтому её сразу меняют на «удобную» — так же и дробь меняют на тождественно равную, но с рациональным знаменателем, чтобы дальше было проще сравнивать и вычислять.
⚠️ Частая ошибкаУмножая дробь на сопряжённое выражение, часто забывают, что домножать нужно и числитель, и знаменатель — иначе значение дроби изменится. Ещё одна частая ошибка — перепутать знак сопряжённого выражения: для знаменателя $\sqrt6-1$ сопряжённым является $\sqrt6+1$ (знак между слагаемыми меняется на противоположный), а не $-\sqrt6+1$ или $1-\sqrt6$.
🧠 ЗапомниПодобные слагаемые с корнями складывают так же, как одночлены, если сначала привести их к одинаковому радикалу. Числитель вида $a-b$ раскладывают через разность квадратов $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$. От одного корня в знаменателе освобождаются умножением на этот же корень; от суммы/разности с корнем — умножением на сопряжённое выражение.
← Глава II · § 6 · п. 6.1 Вынесение и внесение множителя за знак корня Все темы Глава II · § 6 · п. 6.3 → Преобразование двойных радикалов
Дробь:
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, дробь умножают на такую же дробь из сопряжённого выражения — значение дроби при этом не меняется