Алгебра · 8 класс · Глава II · § 6 · п. 6.3 (для тех, кто хочет знать больше)
Преобразование двойных радикалов
Что такое двойной радикал
Сторона правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, вычисляется по формуле $a_5=\dfrac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt5}$. Здесь под внешним корнем стоит выражение, которое само содержит корень — $\sqrt{10-2\sqrt5}$. Такие выражения часто встречаются в геометрии и заслуживают отдельного названия.
📐Двойной радикалВыражение вида $\sqrt{a\pm b\sqrt c}$, где $a$, $b$, $c$ — рациональные числа, называют двойным радикалом. В преобразованиях таких выражений стремятся избавиться от внешнего радикала — представить всё, что стоит под ним, в виде квадрата суммы или квадрата разности.
Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении $\sqrt{41-12\sqrt5}$. Разберём решение по шагам.
1
Слагаемое $12\sqrt5$ рассмотрим как удвоенное произведение двух выражений, а $41$ — как сумму их квадратов. Попробуем $12\sqrt5=2\cdot6\cdot\sqrt5$: тогда квадраты множителей $6$ и $\sqrt5$ дают в сумме $36+5=41$ — то, что нужно.
2
Значит, подкоренное выражение сворачивается в полный квадрат разности: $$41-12\sqrt5=36-2\cdot6\cdot\sqrt5+5=(6-\sqrt5)^2.$$
3
Извлекаем корень из квадрата, не забывая про модуль: $\sqrt{41-12\sqrt5}=|6-\sqrt5|=6-\sqrt5$ (так как $6>\sqrt5$, модуль раскрывается без смены знака).
Когда квадрат не угадывается сразу
Метод подбора из примера 1 удобен, но не всегда очевиден. Есть более надёжный путь — метод неопределённых коэффициентов.
Пример 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении $\sqrt{61+28\sqrt3}$. Предположим, что $\sqrt{61+28\sqrt3}=a+b\sqrt3$, где $a$ и $b$ — некоторые числа. Возведём обе части в квадрат:
Из целых пар с произведением $ab=14$ условию $a^2+3b^2=61$ и $a+b\sqrt3\ge0$ удовлетворяет единственная пара $(a;b)=(7;2)$. Значит, $\sqrt{61+28\sqrt3}=7+2\sqrt3$.
💡Формула двойного радикалаЕсли $a\ge0$, $b\ge0$ и разность $a^2-b$ равна квадрату рационального числа, то освободиться от внешнего радикала в выражении $\sqrt{a\pm\sqrt b}$ можно сразу по формуле: $$\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\;\pm\;\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$ В правой части знак между слагаемыми — тот же, что и в исходном выражении слева.
Применяем готовую формулу
Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении $\sqrt{57-\sqrt{2024}}$ по формуле двойного радикала.
1
Вычисляем $a^2-b=57^2-2024=3249-2024=1225=35^2$ — это квадрат рационального числа, формулу можно применять.
2
Находим слагаемые под корнями: $\dfrac{57+35}{2}=46$ и $\dfrac{57-35}{2}=11$.
3
Так как в исходном выражении знак «минус», подставляем его же в ответ: $$\sqrt{57-\sqrt{2024}}=\sqrt{46}-\sqrt{11}.$$ Справа можно выбрать другой пример и увидеть такое же вычисление для него.
Пример 4. Тот же приём работает и с переменными. Упростим $\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-4}+a-2}$ при $a>2$. Представим подкоренное выражение как $(a+2)-2\sqrt{a^2-4}+(a-2)$ — это квадрат разности $\sqrt{a+2}$ и $\sqrt{a-2}$:
💡Из жизниДвойные радикалы — не искусственная задачка «для эрудитов». Именно они получаются, когда по формулам через радиус описанной окружности вычисляют длины сторон правильных многоугольников — пятиугольника, десятиугольника и других. Упрощение такого выражения превращает громоздкий ответ калькулятора в компактную сумму или разность простых корней, с которой удобно работать дальше.
⚠️Частая ошибкаВ формуле двойного радикала знак между слагаемыми справа должен совпадать со знаком между $a$ и $\sqrt b$ слева — если исходное выражение $\sqrt{a-\sqrt b}$, то и в ответе ставится минус, а не плюс. Ещё одна ошибка — забыть проверить, что $a^2-b$ действительно точный квадрат рационального числа: без этого условия под новыми корнями останутся некрасивые иррациональные числа, и упрощение не сработает.
🧠ЗапомниДвойной радикал — выражение вида $\sqrt{a\pm b\sqrt c}$. Освободиться от внешнего корня можно двумя способами: подобрать полный квадрат суммы или разности вручную, либо, если $a^2-b$ — точный квадрат рационального числа, применить готовую формулу $\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$. Тот же приём — свёртка в квадрат суммы или разности — работает и для выражений с переменными.