Решать каждое квадратное уравнение выделением квадрата двучлена — долго и громоздко. Поэтому уравнение $ax^2+bx+c=0$ решили один раз в общем виде и получили готовую формулу, которую теперь можно применять к любому квадратному уравнению, просто подставляя числа.
📐ДискриминантВыражение $b^2-4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ («дискриминант» по-латыни — различитель) и обозначают буквой $D$: $$D=b^2-4ac.$$
Именно знак $D$ определяет, сколько корней у уравнения — недаром дискриминант «различает» случаи.
💡Формула корней (I)$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}, \quad \text{где } D=b^2-4ac.$$Знак «$\pm$» означает: один корень получаем со знаком «$-$», второй — со знаком «$+$».
Три случая в зависимости от знака $D$
Число $4a^2$ в знаменателе дроби $(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2$ всегда положительно (так как $a\neq0$), поэтому знак всей дроби определяется знаком числителя — то есть знаком дискриминанта.
1
$D>0$ — уравнение имеет два корня: $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt D}{2a}, \quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}.$$
2
$D=0$ — уравнение имеет один корень: $$x=-\dfrac{b}{2a}.$$Формулой (I) можно пользоваться и здесь: при $D=0$ она даёт $x=(-b\pm\sqrt0)/2a=-b/2a$ — оба знака дают один и тот же ответ.
3
$D<0$ — уравнение не имеет корней. Под корнем оказалось бы отрицательное число, а квадратный корень из отрицательного числа не существует.
🧠Порядок решения1) Вычислить дискриминант $D=b^2-4ac$ и сравнить его с нулём. 2) Если $D\geqslant0$ — воспользоваться формулой корней; если $D<0$ — записать, что корней нет.
Пример 2. $x^2-12x+36=0$: $D=(-12)^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0$. Один корень: $x=\dfrac{12}{2}=6$.
Пример 3. $7x^2-25x+23=0$: $D=(-25)^2-4\cdot7\cdot23=625-644=-19<0$. Корней нет.
⚠️Частая ошибкаПри отрицательном $b$ ученики часто забывают взять $b$ в скобки и вычисляют $-12^2$ вместо $(-12)^2$ — получают $-144$ вместо $144$ и неверный (обычно отрицательный) дискриминант. Правило: при возведении в квадрат отрицательное число всегда берётся в скобки — $(-12)^2=144$, а не $-12^2=-144$.
🧠Запомни$D=b^2-4ac$. Формула корней: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$. При $D>0$ — два корня, при $D=0$ — один корень, при $D<0$ — корней нет. Для уравнений с чётным вторым коэффициентом $ax^2+2kx+c=0$ есть более удобная формула: $x=\dfrac{-k\pm\sqrt{D_1}}{a}$, где $D_1=k^2-ac$.