Многие задачи в математике, физике, технике сводятся к квадратным уравнениям. Схема решения та же, что и для линейных уравнений: обозначить неизвестную величину буквой $x$, составить по условию задачи уравнение, решить его — а затем обязательно проверить, все ли найденные корни подходят по смыслу задачи.
🧠План решения текстовой задачи1) Обозначить неизвестную буквой $x$ и выразить через неё остальные величины. 2) Составить уравнение по условию задачи. 3) Решить полученное квадратное уравнение. 4) Проверить каждый корень: подходит ли он по смыслу задачи (длина, время, количество — не могут быть отрицательными). 5) Записать ответ.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника
Найдём катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один катет на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.
1
Пусть меньший катет равен $x$ см. Тогда больший катет равен $(x+4)$ см.
2
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $$x^2+(x+4)^2=20^2.$$
3
Раскроем скобки и упростим: $$x^2+x^2+8x+16=400,$$ $$2x^2+8x-384=0, \quad x^2+4x-192=0.$$
По смыслу задачи $x$ — длина катета, значит $x>0$. Этому условию удовлетворяет только $x_2=12$. Тогда больший катет равен $12+4=16$ (см). Ответ: 12 см и 16 см.
⚠️Частая ошибкаУченики часто автоматически отбрасывают один из двух корней «на всякий случай», даже не проверив условие задачи. Отбрасывать корень можно только с обоснованием: если $x$ — длина, отрицательный корень не подходит; но если оба корня положительны и оба реально возможны (как в задаче про полёт тела ниже) — оба входят в ответ.
Задача 2. Тело, брошенное вертикально вверх
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?
Из курса физики известно: высота $h$ (м), на которой окажется тело через $t$ (с), находится по формуле $$h=v_0t-\dfrac{gt^2}{2},$$ где $v_0$ — начальная скорость, $g\approx10$ м/с² — ускорение свободного падения.
1
Подставим $v_0=40$, $g=10$ и $h=60$: $$60=40t-5t^2.$$
2
Перенесём всё в одну часть и упростим: $$5t^2-40t+60=0, \quad t^2-8t+12=0.$$
Оба корня положительны и оба подходят по смыслу задачи: тело поднимается до высоты 80 м за 4 с, а высоту 60 м проходит дважды — на подъёме и на спуске. Ответ: через 2 с и через 6 с.
🧠ЗапомниСоставляя уравнение по условию задачи, всегда явно записывай, что означает $x$ (и в каких единицах). После решения квадратного уравнения проверяй оба корня по смыслу задачи — иногда подходит только один корень, а иногда, как в задаче о полёте, оба корня отвечают на вопрос задачи.