В этой главе вы будете решать новые виды уравнений с одной переменной — квадратные. Уравнения вида $-x^2+6x+1{,}4=0$, $8x^2-7x=0$, $x^2-\tfrac49=0$ имеют общий вид $ax^2+bx+c=0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$ и $c$ — числа.
📐Квадратное уравнениеУравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$, $c$ — некоторые числа, причём $a\neq0$, называют квадратным уравнением. Числа $a$, $b$ и $c$ — коэффициенты: $a$ — первый коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член.
Квадратное уравнение, в котором $a=1$, называют приведённым. Например: $x^2-11x+30=0$.
💡Неполное квадратное уравнениеЕсли в уравнении $ax^2+bx+c=0$ хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю, уравнение называют неполным. Таких уравнений три вида — выбирайте их справа кнопками, чтобы увидеть решение каждого.
Вид 1. $ax^2+c=0$, где $c\neq0$ (коэффициент $b=0$)
Пример 1. Решим уравнение $-3x^2+15=0$. Разберём по шагам.
1
Перенесём свободный член в правую часть: $$-3x^2=-15.$$
2
Разделим обе части на $-3$: $$x^2=5.$$
3
Отсюда $x=\sqrt5$ или $x=-\sqrt5$. Ответ: $\sqrt5$; $-\sqrt5$.
Пример 2. Решим уравнение $4x^2+3=0$. Перенесём свободный член и разделим на $4$: $x^2=-\tfrac34$. Квадрат числа не может быть отрицательным — значит, уравнение не имеет корней.
🧠Общий приёмУравнение $ax^2+c=0$ сводится к $x^2=-\dfrac{c}{a}$. Если $-\dfrac{c}{a}>0$ — два корня $x=\pm\sqrt{-c/a}$. Если $-\dfrac{c}{a}<0$ — корней нет.
Вид 2. $ax^2+bx=0$, где $b\neq0$ (коэффициент $c=0$)
Пример 3. Решим уравнение $4x^2+9x=0$. Разберём по шагам.
1
Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобку: $$x(4x+9)=0.$$
2
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $x=0$ или $4x+9=0$.
3
Решаем второе уравнение: $4x=-9$, $x=-2\tfrac14$. Ответ: $0$; $-2\tfrac14$.
🧠Общий приёмУравнение $ax^2+bx=0$ раскладывается в $x(ax+b)=0$, откуда $x=0$ или $x=-\dfrac{b}{a}$. При $b\neq0$ такое уравнение всегда имеет два корня.
Вид 3. $ax^2=0$ (оба коэффициента $b=0$ и $c=0$)
Уравнение $ax^2=0$ равносильно уравнению $x^2=0$ и имеет единственный корень $x=0$. Например, уравнение $-4x^2=0$ имеет только один корень: $0$.
⚠️Частая ошибкаРешая уравнение $ax^2+bx=0$, ученики часто делят обе части на $x$ — и теряют корень $x=0$! Делить уравнение на переменную нельзя: вместо этого левую часть нужно раскладывать на множители через вынесение общего множителя $x$ за скобку.
🧠ЗапомниНеполное квадратное уравнение — уравнение $ax^2+bx+c=0$, у которого $b=0$, или $c=0$, или оба сразу. Три вида: $ax^2+c=0$ (два корня, один корень или нет корней — зависит от знака $-c/a$), $ax^2+bx=0$ (всегда два корня: $0$ и $-b/a$, через разложение на множители), $ax^2=0$ (всегда один корень: $0$).