Уравнение $x^2-7x+10=0$ имеет корни $2$ и $5$. Сложим их: $2+5=7$ — это второй коэффициент, взятый с противоположным знаком. Перемножим: $2\cdot5=10$ — это свободный член. Совпадение? Нет — так устроено любое приведённое квадратное уравнение, у которого есть корни.
📐Теорема ВиетаСумма корней приведённого квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену: $$x_1+x_2=-p, \qquad x_1\cdot x_2=q.$$
Подвигай корень $x_1$ и корень $x_2$ на числовой прямой справа — сумма, произведение и само уравнение пересчитаются мгновенно.
Доказательство
Рассмотрим приведённое уравнение $x^2+px+q=0$ с дискриминантом $D=p^2-4q>0$. Тогда его корни:
Сложим корни — слагаемые $\sqrt{D}$ и $-\sqrt{D}$ уничтожаются: $$x_1+x_2=\dfrac{-p-\sqrt{D}}{2}+\dfrac{-p+\sqrt{D}}{2}=\dfrac{-2p}{2}=-p.$$
2
Перемножим корни по формуле «разность квадратов»: $$x_1\cdot x_2=\dfrac{(-p)^2-(\sqrt{D})^2}{4}=\dfrac{p^2-(p^2-4q)}{4}=\dfrac{4q}{4}=q.$$
3
Итак, $x_1+x_2=-p$ и $x_1x_2=q$. Теорема доказана. Названа в честь французского математика Франсуа Виета (1540—1603), который первым начал обозначать числа буквами.
Обратная теорема
🔄Теорема, обратная теореме ВиетаЕсли числа $m$ и $n$ таковы, что $m+n=-p$, а $mn=q$, то $m$ и $n$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$.
Эта теорема удобна для проверки найденных корней и для подбора корней «в уме», без вычисления дискриминанта.
Для произвольного уравнения $ax^2+bx+c=0$ равносильное приведённое имеет вид $x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}=0$, поэтому теорема Виета даёт: $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, \qquad x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}.$$
⚠️Частая ошибкаПутают знак: пишут $x_1+x_2=p$ вместо $x_1+x_2=-p$. Запомни: сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Ещё одна ошибка — применять формулы $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$ к уравнению с $a\ne1$, забыв сначала разделить все члены на $a$ (для $ax^2+bx+c=0$ нужно $x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}$, а не $-b$).
🧠ЗапомниДля приведённого уравнения $x^2+px+q=0$: $$x_1+x_2=-p, \qquad x_1x_2=q.$$ Теорема Виета работает в обе стороны: зная корни — находишь коэффициенты, зная коэффициенты — можно подобрать корни или проверить уже найденные.