Алгебра 8 класс: Квадратный трёхчлен и его корни

Что такое квадратный трёхчлен

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена. Например, у многочлена $x^3-x$ корни — числа $0$, $1$ и $-1$: разложив $x^3-x=x(x-1)(x+1)$, видим, что произведение равно нулю ровно в этих точках.

Многочлен второй степени с одной переменной называют квадратным трёхчленом.

📐 ОпределениеКвадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2+bx+c$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a\ne0$. Коэффициент $a$ называют старшим коэффициентом, а $c$ — свободным членом.

Если $b=0$ или $c=0$ (или оба сразу) — это тоже квадратный трёхчлен: например, $7x^2-x$ считается квадратным трёхчленом с $a=7$, $b=-1$, $c=0$. А вот если $a=0$ — это уже не квадратный трёхчлен, а линейное выражение.

        💡
        Из жизниПредставь график высоты мяча, подброшенного вверх: $h=-5t^2+20t$. Это квадратный трёхчлен от времени $t$. Его корни — моменты, когда мяч находится на земле ($h=0$): в начале броска и в момент падения.
      

Подвигай точку на графике справа — она задаёт свободный член $c$ трёхчлена $x^2-4x+c$ и сдвигает параболу вверх-вниз. Смотри, как при этом рождаются, сливаются в один и исчезают корни трёхчлена — точки, где график пересекает ось $x$.

Как найти корни квадратного трёхчлена

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, нужно решить квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ — тем самым способом, который мы уже знаем: через дискриминант.

Пример. Найдём корни квадратного трёхчлена $3x^2-2x-5$.

Решаем уравнение $3x^2-2x-5=0$. Вычисляем дискриминант: $$D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-5)=4+60=64.$$

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня: $$x=\dfrac{2\pm\sqrt{64}}{6}=\dfrac{2\pm8}{6}.$$

Получаем $x_1=\dfrac{2+8}{6}=\dfrac{5}{3}$ и $x_2=\dfrac{2-8}{6}=-1$. Значит, трёхчлен $3x^2-2x-5$ имеет два корня: $\tfrac{5}{3}$ и $-1$.

Сколько корней у трёхчлена

Квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ имеет те же корни, что и квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ — а значит, число корней зависит от знака дискриминанта $D=b^2-4ac$, который называют также дискриминантом квадратного трёхчлена.

🔎 Число корней по дискриминанту Если $D>0$ — трёхчлен имеет два корня (график пересекает ось $x$ дважды).
Если $D=0$ — трёхчлен имеет один корень (график касается оси $x$).
Если $D<0$ — трёхчлен не имеет корней (график не касается оси $x$).

На графике справа трёхчлен $x^2-4x+c$ имеет старший коэффициент $a=1$ и второй коэффициент $b=-4$ — они закреплены, а вот $c$ ты меняешь сам. Смотри, как дискриминант $D=16-4c$ живьём меняет знак вместе с числом точек пересечения параболы с осью $x$.

Выделение квадрата двучлена

Иногда удобно записать квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ в виде $a(x-m)^2+n$ — такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трёхчлена.

Пример. Выделим квадрат двучлена из трёхчлена $3x^2-36x+140$. Вынесем множитель $3$ за скобки, а внутри прибавим и вычтем $6^2$:

$$3x^2-36x+140=3(x^2-12x+\tfrac{140}{3})=3\big((x-6)^2-36+\tfrac{140}{3}\big)=3(x-6)^2+32.$$

Такое преобразование удобно, например, чтобы доказать, что прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре — это квадрат: площадь $x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5)^2+25$ максимальна при $x=5$, потому что $-(x-5)^2\le0$ при любом $x$.

⚠️ Частая ошибкаПутают корень многочлена (значение $x$, при котором трёхчлен обращается в нуль) со значением самого трёхчлена в произвольной точке. Корень — это не любое число, а именно то, где график пересекает ось $x$. Другая ошибка: думают, что при $D<0$ бывает «один корень» — на самом деле при $D<0$ корней нет вовсе, график вообще не касается оси $x$.

🧠 ЗапомниКвадратный трёхчлен: $$ax^2+bx+c, \qquad a\ne0.$$ Его корни — это корни уравнения $ax^2+bx+c=0$. Число корней определяет дискриминант $D=b^2-4ac$: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один корень, $D<0$ — корней нет.

← Глава III · § 7 · п. 7.4 Теорема Виета Все темы Глава III · § 8 · п. 8.2 → Разложение квадратного трёхчлена на множители

Перетащи точку c по оси y — так задаётся свободный член трёхчлена