В прошлой теме мы узнали, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ имеет корни — те же, что и у уравнения $ax^2+bx+c=0$. Оказывается, зная эти корни, трёхчлен всегда можно разложить на множители — представить в виде произведения.
Пример. Разложим на множители трёхчлен $3x^2-21x+30$.
Доказывается теорема через теорему Виета (мы разбирали её раньше): вынеся $a$ за скобку, получаем $x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}$, а по теореме Виета $\tfrac{b}{a}=-(x_1+x_2)$ и $\tfrac{c}{a}=x_1x_2$. Подставив это и сгруппировав слагаемые, приходим ровно к $(x-x_1)(x-x_2)$.
Если дискриминант трёхчлена равен нулю, оба корня совпадают: $x_1=x_2$, и множитель повторяется дважды — получается полный квадрат $a(x-x_1)^2$.
Справа — точка $x$ бегает по числовой прямой между корнями $x_1$ и $x_2$, а под ней — прямоугольник со сторонами $(x-x_1)$ и $(x-x_2)$. Смотри: живое значение трёхчлена $ax^2+bx+c$ и произведения $a(x-x_1)(x-x_2)$ в нижней подписи всегда совпадают — это тождество работает для любого $x$, а не только в корнях.
Кнопками над рисунком справа можно переключаться между тремя примерами.
Пример 1. Трёхчлен $2x^2+7x-4$ имеет корни $x_1=\tfrac12$ и $x_2=-4$ (найдены через дискриминант). По теореме $$2x^2+7x-4=2\left(x-\tfrac12\right)(x+4).$$ Если внести множитель $2$ в первую скобку, получится более привычная запись: $$2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4).$$
Пример 2 (совпадающие корни). Трёхчлен $-4x^2+24x-36$ имеет дискриминант $D=0$, поэтому оба корня равны: $x_1=x_2=3$. Значит, $$-4x^2+24x-36=-4(x-3)(x-3)=-4(x-3)^2.$$ На рисунке справа при этом примере прямоугольник превращается в квадрат — обе стороны равны.
Разложение трёхчлена на множители часто применяют, чтобы сократить рациональную дробь.
Пример 3. Сократим дробь $\dfrac{3x+2}{3x^2-13x-10}$. Корни знаменателя: $x_1=-\tfrac23$, $x_2=5$. Тогда $$3x^2-13x-10=3\left(x+\tfrac23\right)(x-5)=(3x+2)(x-5).$$ Значит, $$\frac{3x+2}{3x^2-13x-10}=\frac{3x+2}{(3x+2)(x-5)}=\frac{1}{x-5}.$$