Уравнение $2x+5=3(8-x)$ — обычное, знакомое: обе части — целые выражения. А в уравнении $x-\tfrac5x=-3x+19$ переменная стоит в знаменателе. Такие уравнения называют рациональными, а если хотя бы одна часть — дробное выражение — дробными рациональными.
Например, уравнение $2x+5=3(8-x)$ — целое, а $\tfrac{x-3}{x-5}+\tfrac1x=\tfrac{x+5}{x(x-5)}$ — дробное рациональное. Именно такие уравнения мы учимся решать в этом параграфе.
Мы уже применяли этот приём для целых уравнений: чтобы решить $\tfrac{x-1}{2}+\tfrac{2x}{3}=\tfrac{5x}{6}$, умножаем обе части на наименьший общий знаменатель дробей — число $6$ — и получаем уравнение без дробей: $3(x-1)+4x=5x$, откуда $x=1{,}5$.
С дробным рациональным уравнением приём тот же — только общий знаменатель теперь содержит переменную. И вот тут появляется важная тонкость: умножать обе части можно только на выражение, не равное нулю. А выражение с переменной иногда обращается в нуль — поэтому среди найденных корней может оказаться лишний, посторонний корень.
Вспомни тему про рациональные выражения: значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, вообще не входят в область допустимых значений (ОДЗ) — при них выражение просто не имеет смысла.
Решим уравнение $$\dfrac{x-3}{x-5}+\dfrac1x=\dfrac{x+5}{x(x-5)}. \quad (1)$$
Общий знаменатель дробей — выражение $x(x-5)$. Умножим на него обе части и получим целое уравнение $$x(x-3)+x-5=x+5. \quad (2)$$ Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $$x^2-3x-10=0.$$
По теореме Виета (или через дискриминант) корни этого квадратного уравнения — $-2$ и $5$.
Теперь шаг 4 — проверка. При $x=-2$ общий знаменатель $x(x-5)=(-2)\cdot(-7)=14\neq0$ — значит, $-2$ действительно корень уравнения (1). А вот при $x=5$ общий знаменатель $x(x-5)=5\cdot0=0$ — выражения в уравнении (1) вообще теряют смысл, поэтому $5$ — посторонний корень, его отбрасываем.
Ответ: $x=-2$.
Решим уравнение $$\dfrac{2}{x^2-4}-\dfrac{1}{x^2-2x}=\dfrac{4-x}{x^2+2x}.$$ Разложим знаменатели на множители: $\tfrac{2}{(x-2)(x+2)}-\tfrac{1}{x(x-2)}=\tfrac{4-x}{x(x+2)}$. Общий знаменатель — $x(x-2)(x+2)$. После умножения и упрощения приходим к $$x^2-5x+6=0,$$ корни которого — $2$ и $3$.
При $x=2$ общий знаменатель $x(x-2)(x+2)=2\cdot0\cdot4=0$ — корень посторонний. При $x=3$ знаменатель $3\cdot1\cdot5=15\neq0$ — подходит.
Ответ: $x=3$.
Переключай примеры кнопками над рисунком справа и подвигай фиолетовую точку по числовой прямой — сразу видно, какие значения вообще не входят в ОДЗ.