Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Общий план решения текстовой задачи
Решение многих текстовых задач приводит к дробным рациональным уравнениям — про движение по реке, про сплавы и растворы, про совместную работу. Схема решения такой задачи та же, что и для обычных текстовых задач: обозначить неизвестное, выразить через него остальные величины, составить уравнение по условию и решить его. Разница — в последнем шаге: корней может оказаться два (или больше), а условие задачи почти всегда «отсеивает» часть из них.
📐Общий план решения текстовой задачи1) Обозначить неизвестную величину буквой $x$ и указать разумные границы для неё. 2) Выразить через $x$ остальные величины по условию задачи. 3) Составить уравнение, используя то условие, которое ещё не использовано. 4) Решить уравнение. 5) Проверить каждый найденный корень по смыслу задачи — не только по ОДЗ уравнения, но и по реальным ограничениям (скорость, время, масса не могут быть отрицательными и т. п.) — и записать ответ.
1
Обозначить неизвестное $x$, указав, что оно означает и в каких пределах может меняться.
2
Выразить через $x$ все остальные величины, о которых говорится в задаче.
3
Составить уравнение, используя условие задачи, которое ещё не было использовано.
Проверить каждый корень по смыслу задачи и записать ответ.
Задача 1. Моторная лодка
Моторная лодка прошла $25$ км по течению реки и $3$ км против течения, затратив на весь путь $2$ ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна $3$ км/ч?
Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде. По смыслу задачи она обязана быть больше скорости течения, иначе лодка вообще не сможет двигаться против течения. Тогда скорость по течению — $(x+3)$ км/ч, против течения — $(x-3)$ км/ч.
По течению $25$ км лодка прошла за $\tfrac{25}{x+3}$ ч, против течения $3$ км — за $\tfrac{3}{x-3}$ ч. Весь путь занял $2$ ч, значит $$\dfrac{25}{x+3}+\dfrac{3}{x-3}=2.$$
1
Общий знаменатель дробей — $(x+3)(x-3)$. Умножив на него обе части, получаем целое уравнение $25(x-3)+3(x+3)=2(x+3)(x-3)$.
2
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, приходим к квадратному уравнению $x^2-14x+24=0$.
3
Корни этого уравнения: $x_1=2$ и $x_2=12$.
4
Проверка по смыслу задачи: скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения ($3$ км/ч). Корень $x_1=2$ этому условию не удовлетворяет — не подходит. Корень $x_2=12$ подходит.
5
Ответ: $12$ км/ч.
Задача 2. Сплав меди и цинка
К сплаву меди и цинка, содержащему $10$ кг цинка, добавили $20$ кг цинка. В результате содержание меди в сплаве уменьшилось на $25\%$. Какова была первоначальная масса сплава?
Пусть $x$ кг — первоначальная масса сплава. Меди в ней было $(x-10)$ кг — эта величина обязана быть положительной, поэтому $x>10$. Доля меди в исходном сплаве составляла $\tfrac{x-10}{x}\cdot100\%$.
После добавления $20$ кг цинка масса сплава стала $(x+20)$ кг, а доля меди в нём — $\tfrac{x-10}{x+20}\cdot100\%$. По условию эта доля уменьшилась на $25\%$, значит $$\dfrac{x-10}{x}\cdot100-\dfrac{x-10}{x+20}\cdot100=25.$$
1
Разделив обе части на $25$, получаем $4\cdot\dfrac{x-10}{x}-4\cdot\dfrac{x-10}{x+20}=1$.
2
Общий знаменатель — $x(x+20)$. После умножения и упрощения приходим к квадратному уравнению $x^2-60x+800=0$.
3
Корни этого уравнения: $x_1=20$ и $x_2=40$.
4
Проверка по смыслу задачи: оба корня, $x_1=20$ и $x_2=40$, больше $10$, то есть масса меди в обоих случаях положительна — оба удовлетворяют условию.
5
Ответ: $20$ кг или $40$ кг.
Переключай примеры кнопками над рисунком справа и перетаскивай фиолетовую точку по числовой прямой, чтобы увидеть, при каких значениях $x$ уравнение действительно решает задачу, а при каких — формально выполняется, но противоречит смыслу условия.
⚠️Частая ошибкаНайдя оба корня уравнения, ученики часто пишут в ответ сразу оба, не проверив их по смыслу задачи. В задаче 1 корень $x=2$ не нарушает ОДЗ уравнения (знаменатель $x-3=-1\neq0$) — формально уравнение при нём выполняется. Но по смыслу задачи скорость лодки не может быть меньше скорости течения, поэтому этот корень отбрасывают. Проверка «по ОДЗ» и проверка «по смыслу задачи» — разные вещи, нужны обе.
🧠ЗапомниРешая текстовую задачу дробным рациональным уравнением: обозначь неизвестное, вырази остальные величины, составь уравнение, реши его — и обязательно проверь каждый корень по смыслу задачи. Годится не всякий математический корень, а только тот, что описывает реальную ситуацию: положительные скорость, время, массу, количество.