В 7 классе рассматривались уравнения вида $ax+by=c$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа. Такие уравнения называются линейными. Но уравнения с двумя переменными бывают и нелинейными: например, $x^2=4-y^2$, $xy-6=0$, $5x^3+y^2=9$ линейными не являются.
📐Решение уравнения с двумя переменнымиПара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство. Если в уравнение $5x^3+y^2=9$ подставить $x=1$ и $y=2$, получится верное равенство $5\cdot1^3+2^2=9$. Пара чисел $(1;\,2)$, где на первом месте — значение $x$, а на втором — значение $y$, является решением этого уравнения.
Уравнение с двумя переменными имеет, как правило, бесконечное множество решений. Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными уравнениями.
💡Из жизниУравнение с двумя переменными задаёт не одну пару чисел, а целое множество — линию. Например, если у тебя есть $200$ рублей и ты тратишь $x$ рублей на конфеты, а $y$ рублей — на мороженое, то условие «потратил ровно всё» записывается как $x+y=200$. У этого уравнения бесконечно много решений: $(50;150)$, $(120;80)$, $(0;200)$ и так далее — все они образуют отрезок на графике.
Степень уравнения с двумя переменными
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и для уравнения с одной переменной: уравнение переносят так, чтобы слева стоял многочлен стандартного вида, а справа — число $0$. Степень этого многочлена и считают степенью уравнения.
Разберём на примере уравнение $(x^3+y)^2=x^6-1$.
1
Раскроем скобку слева: $(x^3+y)^2=x^6+2x^3y+y^2$. Уравнение принимает вид $x^6+2x^3y+y^2=x^6-1$.
2
Перенесём всё влево и приведём подобные слагаемые: $x^6$ сокращается с $x^6$, остаётся $2x^3y+y^2+1=0$.
3
Слева — многочлен стандартного вида. Наибольшая степень слагаемого — у $2x^3y$: $3+1=4$. Значит, уравнение $(x^3+y)^2=x^6-1$ четвёртой степени.
График уравнения с двумя переменными
📈График уравнения с двумя переменнымиМножество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.
Из курса 7 класса известно, что графиком линейного уравнения $ax+by=c$ (где $a\neq0$ или $b\neq0$) является прямая. Но графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны — они не обязаны быть прямыми.
Например, графиком уравнения $x^2-2y=0$ является парабола, а графиком уравнения $xy-12=0$ — гипербола.
Переключай вкладки над рисунком справа и перетаскивай фиолетовую точку по координатной плоскости, чтобы проверить: лежит ли выбранная пара $(x;y)$ на графике уравнения, то есть является ли она его решением.
⚠️Частая ошибкаПосле 7 класса многие привыкают, что «график уравнения с двумя переменными» — это всегда прямая. Это не так: линейным является только уравнение вида $ax+by=c$. Уравнения второй и более высокой степени дают параболы, гиперболы, пары прямых и другие кривые — а некоторые уравнения вообще не имеют решений (например, у $x^2+y^2=-4$ график — пустое множество, потому что сумма квадратов не бывает отрицательной).
🧠ЗапомниРешение уравнения с двумя переменными — пара чисел $(x;y)$. График уравнения — множество всех точек плоскости с координатами-решениями. Чтобы найти степень уравнения, переносят все слагаемые в одну сторону и смотрят на наибольшую сумму показателей степеней в одночлене. Линейное уравнение $ax+by=c$ — лишь один частный случай; графики бывают и нелинейными.