8 класс · Уравнения и системы уравнений

Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Три способа решения систем — напоминание

В 7 классе вы уже решали системы двух линейных уравнений с двумя переменными, например $\{x-2y=5,\ x+y=3\}$. Решали их разными способами: алгебраически — подстановкой и сложением, а также графически.

При графическом способе на координатной плоскости строят две прямые — графики уравнений системы. У двух прямых на плоскости есть ровно три возможных варианта взаимного расположения: они пересекаются, они параллельны или они совпадают. Значит, и у системы ровно три возможных исхода: единственное решение, решений нет или решений бесконечно много.

Три случая — по угловым коэффициентам

Любую систему двух линейных уравнений можно записать в виде $\{y=k_1x+b_1,\ y=k_2x+b_2\}$, выразив в каждом уравнении $y$ через $x$.

📐 Критерий числа решений системы Если $k_1\neq k_2$ — прямые пересекаются, система имеет единственное решение.
Если $k_1=k_2$, но $b_1\neq b_2$ — прямые параллельны, система не имеет решений.
Если $k_1=k_2$ и $b_1=b_2$ — прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений (это все решения одного уравнения).

Такой вывод позволяет, не решая систему, а просто взглянув на коэффициенты, сразу сказать — есть ли у неё решение и сколько.

💡 Из жизниПредставь два автомобиля, которые едут по прямым дорогам. Если дороги пересекаются под углом — машины проедут ровно через одну общую точку. Если дороги идут строго параллельно — машины никогда не встретятся. А если это, по сути, одна и та же дорога, только описанная разными словами (например, «Ленина» и «бывшая Советская») — то общих точек у них бесконечно много: вся дорога целиком.

Разбор примеров

Определим число решений системы $\{3x-2y=4,\ 0{,}5x+y=2\}$, не решая её.

1
Выразим $y$ через $x$ в каждом уравнении: из первого $y=1{,}5x-2$, из второго $y=-0{,}5x+2$.
2
Сравним угловые коэффициенты: $k_1=1{,}5$, $k_2=-0{,}5$. Так как $k_1\neq k_2$, прямые пересекаются.
3
Значит, система $\{3x-2y=4,\ 0{,}5x+y=2\}$ имеет единственное решение.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что система $\{2x+y=3,\ 4x+2y=1\}$ не имеет решений ($k_1=k_2=-2$, но $b_1=3\neq b_2=0{,}5$), а система $\{2x-3y=5,\ 4x-6y=10\}$ имеет бесконечно много решений — оба уравнения задают одну и ту же прямую.

⚠️ Частая ошибкаПроверять равенство $k_1=k_2$ мало — нужно ещё сравнить $b_1$ и $b_2$! Если остановиться на «коэффициенты при $x$ совпали» и сразу решить, что решений нет, легко перепутать параллельные прямые с совпадающими. Например, в системе $\{2x-3y=5,\ 4x-6y=10\}$ коэффициенты при $x$ и $y$ второго уравнения ровно в 2 раза больше, чем у первого — это не «похожая, но другая» прямая, а та же самая прямая, только уравнение умножено на 2.
🧠 ЗапомниПриведи оба уравнения системы к виду $y=kx+b$. Сравни $k_1$ и $k_2$: разные — единственное решение (прямые пересекаются). Равны — смотри на $b_1$ и $b_2$: разные — решений нет (прямые параллельны), равны — решений бесконечно много (прямые совпадают).

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике