💡Из жизниПредставь карту города, на которую нанесены два маршрута: красный автобус ездит по одному кольцу, синий трамвай — по другой линии. Вопрос «где пассажир может пересесть с автобуса на трамвай?» — это вопрос об общих точках двух линий. Достаточно посмотреть на карту и найти места, где линии пересекаются. Ровно так же работает графический способ решения систем.
Каждое уравнение с двумя переменными задаёт на координатной плоскости свою линию — график этого уравнения. Координаты любой точки этой линии — решение уравнения, и наоборот. Поэтому пара чисел, которая подходит сразу обоим уравнениям системы, — это точка, лежащая сразу на обеих линиях, то есть точка их пересечения.
📐Графический способ решения системы
Строят графики уравнений, входящих в систему; находят точки пересечения графиков или устанавливают, что таких точек нет; находят координаты точек пересечения. Найденные пары чисел и являются решениями системы.
Другими словами, решить графически систему уравнений — значит найти координаты общих точек графиков её уравнений. Этот способ одинаково работает и когда оба уравнения линейные, и когда одно или оба уравнения линейными не являются.
Разбор примера из учебника
Решим с помощью графиков систему $$\begin{cases} xy-6=0, \\ x^2+7x=2y. \end{cases}$$
1
Выразим из каждого уравнения переменную $y$ через $x$, чтобы получились знакомые функции. Из первого: $y=\dfrac{6}{x}$. Из второго: $y=0{,}5x^2+3{,}5x$. Система приняла вид $\{y=\tfrac{6}{x},\ y=0{,}5x^2+3{,}5x\}$.
2
Построим оба графика в одной системе координат. График первого уравнения — гипербола, график второго — парабола.
3
Координаты любой точки гиперболы — решение уравнения $y=\tfrac{6}{x}$, координаты любой точки параболы — решение уравнения $y=0{,}5x^2+3{,}5x$. Значит, координаты точки, лежащей на обеих линиях, удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются решением системы.
4
По чертежу видно, что гипербола и парабола пересекаются в трёх точках: $A$, $B$ и $C$. Значит, система имеет три решения.
5
Снимем с чертежа приближённые координаты этих точек: $A(-6{,}8;\ -1)$, $B(-1{,}5;\ -4)$, $C(1{,}2;\ 5)$. Это и есть три решения системы: $x_1\approx-6{,}8,\ y_1\approx-1$; $x_2\approx-1{,}5,\ y_2\approx-4$; $x_3\approx1{,}2,\ y_3\approx5$.
Сколько может быть точек пересечения
Когда оба уравнения линейные, вариантов всего три (пересекаются, параллельны, совпадают). Но как только в системе появляется парабола или гипербола, точек пересечения может быть и ноль, и одна, и две, и три.
Посмотри на интерактив справа. На вкладке «Парабола и прямая» изображены графики уравнений $y=x^2$ и $y=2x+b$. Двигая ползунок $b$, увидишь все три случая: при $b \gt -1$ прямая пересекает параболу в двух точках, при $b=-1$ — касается её в одной точке, при $b \lt -1$ — общих точек нет вовсе.
⚠️Частая ошибкаСчитать координаты, снятые с чертежа, точным ответом. Графический способ даёт решения приближённо: мы читаем координаты «на глаз» по клеточкам, и попасть в точное значение почти невозможно. В разобранном примере настоящее решение не $(1{,}2;\ 5)$, а $x\approx1{,}209$, $y\approx4{,}96$. Поэтому в ответе к графическому решению всегда пишут знак $\approx$, а если нужен точный ответ — систему решают алгебраически.
Итоги
🧠Запомни
1. Выразить $y$ через $x$ в каждом уравнении, чтобы узнать знакомые графики (прямая, парабола, гипербола).
2. Построить оба графика в одной системе координат.
3. Сколько точек пересечения — столько у системы решений; нет точек — нет решений.
4. Координаты точек пересечения — это и есть решения, но приближённые.