89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
💡 Из жизни: два поезда едут по одному и тому же прямому железнодорожному пути
(или по параллельным путям). Как бы ни отличались их скорости, скорость одного поезда всегда можно
получить из скорости другого, просто умножив её на подходящее число — например, «в полтора раза
быстрее» или «в обратную сторону и вдвое медленнее». Именно это и утверждает лемма о коллинеарных
векторах.
Лемма (о коллинеарных векторах). Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и
$\vec{a} \ne \vec{0}$, то существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$.
1
Пусть $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ (сонаправлены). Возьмём число
$k = \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \ge 0$. Тогда вектор $k\vec{a}$ сонаправлен с $\vec{a}$, а
значит и с $\vec{b}$; кроме того, $|k\vec{a}| = k|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Значит,
$\vec{b} = k\vec{a}$.
2
Пусть $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ (противоположно направлены). Возьмём
$k = -\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} < 0$. Тогда $k\vec{a}$ направлен противоположно $\vec{a}$, то
есть так же, как $\vec{b}$, а длины снова равны: $|k\vec{a}| = |k||\vec{a}| = |\vec{b}|$. Значит,
$\vec{b} = k\vec{a}$ и в этом случае. Лемма доказана.
89. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам
💡 Из жизни: в городе с прямоугольной сеткой улиц такси может добраться в любую
точку, двигаясь только вдоль проспекта в одном направлении и вдоль перпендикулярной ему улицы в
другом. Любой маршрут — это «столько-то кварталов по проспекту» плюс «столько-то кварталов по
улице». Так же и с векторами: если выбрать два неколлинеарных вектора (не
обязательно перпендикулярных), любой вектор на плоскости раскладывается через них.
Если вектор $\vec{p}$ представлен в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $x$ и $y$ — некоторые
числа, то говорят, что вектор $\vec{p}$ разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Числа $x$ и $y$ называются коэффициентами разложения.
Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным
векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
1
Если вектор $\vec{p}$ коллинеарен одному из векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ — например,
вектору $\vec{b}$, — то по лемме о коллинеарных векторах $\vec{p} = y\vec{b}$ при некотором
числе $y$. Тогда $\vec{p} = 0\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}$ — разложение уже найдено, с
коэффициентом $x = 0$.
2
Пусть $\vec{p}$ не коллинеарен ни $\vec{a}$, ни $\vec{b}$. Отложим от точки $O$ векторы
$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$.
Через точку $P$ проведём прямую, параллельную прямой $OB$, до пересечения с прямой $OA$ в точке
$A_1$. По правилу треугольника
$\vec{p} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{A_1P}$. Но вектор $\overrightarrow{OA_1}$
коллинеарен $\vec{a}$, а $\overrightarrow{A_1P}$ коллинеарен $\vec{b}$ — значит, существуют
числа $x$, $y$, для которых $\overrightarrow{OA_1}=x\vec{a}$,
$\overrightarrow{A_1P}=y\vec{b}$, и потому $\vec{p} = x\vec{a}+y\vec{b}$.
3
Коэффициенты определены единственным образом. Допустим, наряду с
$\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$ верно и другое разложение $\vec{p}=x_1\vec{a}+y_1\vec{b}$. Вычитая
одно равенство из другого, получим
$\vec{0} = (x-x_1)\vec{a} + (y-y_1)\vec{b}$. Если бы $x - x_1 \ne 0$, отсюда можно было бы
выразить $\vec{a} = \dfrac{y_1-y}{x-x_1}\vec{b}$, а значит $\vec{a}$ и $\vec{b}$ оказались бы
коллинеарны — а это противоречит условию. Значит $x=x_1$ и $y=y_1$.
Теорема доказана.
🧠 Два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называют векторным базисом, а
представление $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$ — разложением по базисным векторам. Потяни точки
$A$, $B$, $P$ на вкладке
«Разложение» справа — числа $x$ и $y$ пересчитаются
автоматически.
90. Координаты вектора
Понятие прямоугольной (декартовой) системы координат уже знакомо из курса алгебры: две
взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением на каждой (осью $Ox$ и осью $Oy$) и общей
единицей измерения отрезков.
💡 Из жизни: адрес дома в городе с сеткой улиц часто задают так: «два квартала на
восток и три квартала на север». Направление «на восток» и направление «на север» — это как раз два
неколлинеарных (здесь ещё и перпендикулярных, единичных) направления, а числа 2 и 3 — координаты.
Отложим от начала координат $O$ единичные векторы (то есть векторы длины $1$) $\vec{i}$ и $\vec{j}$
так, чтобы направление $\vec{i}$ совпало с направлением оси $Ox$, а направление $\vec{j}$ — с
направлением оси $Oy$. Векторы $\vec{i}$ и
$\vec{j}$ называются координатными
векторами.
Определение. Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор $\vec{p}$
можно разложить по ним: $\vec{p} = x\vec{i} + y\vec{j}$, причём коэффициенты $x$ и $y$ определяются
единственным образом. Числа $x$ и $y$ называются координатами вектора $\vec{p}$ в
данной системе координат. Записывают: $\vec{p}\{x;\,y\}$.
Так как нулевой вектор можно представить в виде $\vec{0} = 0\cdot\vec{i} + 0\cdot\vec{j}$, то его
координаты равны нулю: $\vec{0}\{0;\,0\}$. Если $\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ и
$\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$ равны, то $x_1=x_2$ и $y_1=y_2$ — то есть
координаты равных векторов соответственно равны.
🧠 Потяни вектор $\vec{a}$ за точку $A$ на вкладке
«Координаты» справа — пунктирные проекции на оси $Ox$
и $Oy$ и живые координаты $\{x;\,y\}$ пересчитываются сами.
Действия над векторами в координатах
Рассмотрим векторы $\vec{a}\{x_1;y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2;y_2\}$, то есть
$\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ и $\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$.
1°. Каждая координата суммы двух
векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов:
$$\vec{a}+\vec{b} = (x_1+x_2)\vec{i} + (y_1+y_2)\vec{j}, \qquad
\vec{a}+\vec{b}\ \{x_1+x_2;\ y_1+y_2\}.$$
2°. Каждая координата разности двух
векторов равна разности соответствующих координат этих векторов:
$$\vec{a}-\vec{b}\ \{x_1-x_2;\ y_1-y_2\}.$$
3°. Каждая координата произведения
вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число: если
$\vec{a}\{x;y\}$, то
$$k\vec{a}\ \{kx;\ ky\}.$$
По правилу 3°: $2\vec{a}\ \{2;-4\}$, а $-\dfrac13\vec{b}\ \{0;-1\}$.
2
По правилу 1° сложим координаты трёх слагаемых $2\vec{a}$, $-\dfrac13\vec{b}$, $\vec{c}$
отдельно по $x$ и по $y$: $\ x: 2+0-2=0$, $y: -4-1+3=-2$.
3
Итак, $\vec{p}\ \{0;\,-2\}$.
🧠 Подвигай точки $A$, $B$ и переключай сумму / разность / умножение на число на вкладке
«Действия» справа — координаты результата
пересчитываются на лету.
⚠️ Частая ошибка: при вычитании координат путают порядок — считают, что
$\vec{a}-\vec{b}$ и $\vec{b}-\vec{a}$ дают одинаковый результат. На самом деле координаты разности
меняют знак при перестановке: если $\vec{a}-\vec{b}\ \{x_1-x_2;\,y_1-y_2\}$, то
$\vec{b}-\vec{a}\ \{x_2-x_1;\,y_2-y_1\}$ — это противоположный вектор. Ещё одна частая путаница —
складывать «крест-накрест» ($x$ первого с $y$ второго): координаты складываются и вычитаются только
«одноимённые» — $x$ с $x$, $y$ с $y$.
🧠 Запомни:
Если $\vec{a}$, $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a}\ne\vec{0}$, то $\vec{b}=k\vec{a}$ для
некоторого числа $k$.
Любой вектор плоскости раскладывается по двум неколлинеарным векторам единственным
образом: $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$.
Координатные векторы $\vec{i}$, $\vec{j}$ — единичные, вдоль осей $Ox$ и $Oy$;
$\vec{p}=x\vec{i}+y\vec{j} \Leftrightarrow \vec{p}\{x;y\}$.