💡 Из жизни: гайка, дорожный знак «Стоп» (правильный восьмиугольник), пчелиные соты
(правильные шестиугольники), футбольный мяч (собран из правильных пятиугольников и шестиугольников) —
все эти формы выбраны не случайно: у правильных многоугольников максимально симметричная, «равномерная»
форма без выделенных сторон или углов.
Определение.Правильным многоугольником
называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. Правильными
бывают и пятиугольник, семиугольник, восьмиугольник, а вообще — $n$-угольник
при любом $n\ge3$.
Выведем формулу для угла $\alpha_n$ правильного $n$-угольника. Сумма всех углов выпуклого $n$-угольника
равна $(n-2)\cdot180°$, а так как все углы правильного $n$-угольника равны, то
$$\alpha_n=\frac{n-2}{n}\cdot180°.$$
Попробуй покрутить число сторон кнопками n=3…12 во вкладке
«Многоугольник» справа — видно, что чем больше $n$, тем ближе угол $\alpha_n$ к $180°$ (фигура
всё сильнее напоминает окружность — к этому мы вернёмся в следующем параграфе).
⚠️ Частая ошибка: считать, что «все стороны равны» или «все углы равны» по отдельности
уже достаточно, чтобы многоугольник был правильным. Это не так! У ромба все стороны равны, но углы —
разные (кроме квадрата), поэтому ромб (не квадрат) — не правильный многоугольник. У
прямоугольника все углы равны $90°$, но стороны разные (кроме квадрата), поэтому прямоугольник (не
квадрат) — тоже не правильный. Нужны сразу оба условия: и равенство сторон, и равенство
углов, да ещё и выпуклость фигуры.
110. Окружность, описанная около правильного многоугольника
Напомним: окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины
лежат на этой окружности.
Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом
только одну.
1
Пусть $A_1A_2\ldots A_n$ — правильный многоугольник, $O$ — точка пересечения биссектрис углов
$A_1$ и $A_2$.
Соединим $O$ отрезками с остальными вершинами.
2
Так как $\angle A_1=\angle A_2$, то их половины тоже равны, поэтому треугольник $A_1A_2O$ —
равнобедренный: $OA_1=OA_2$.
3
Треугольники $A_1A_2O$ и $A_2A_3O$ равны по двум сторонам и углу между ними ($A_1A_2=A_2A_3$,
$A_2O$ — общая сторона, углы при $A_2O$ равны как половины равного угла), значит $OA_2=OA_3$. Так же
доказывается $OA_3=OA_4$, ..., $OA_{n-1}=OA_n$, $OA_n=OA_1$.
4
Итак, $OA_1=OA_2=\ldots=OA_n$ — точка $O$ равноудалена от всех вершин. Значит окружность с
центром $O$ и радиусом $OA_1$ является описанной
около многоугольника.
5
Единственность: через любые три вершины (например $A_1,A_2,A_3$) проходит только одна
окружность, значит около $A_1A_2\ldots A_n$ можно описать только одну окружность.
Теорема доказана.
111. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все его стороны касаются этой
окружности.
Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только
одну.
1
Пусть $O$ — центр описанной окружности данного правильного многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$
(по предыдущей теореме).
2
Треугольники $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, ..., $OA_nA_1$ равны по трём сторонам ($OA_1=OA_2=\ldots=OA_n$
— радиусы, а стороны многоугольника равны по определению), значит равны и их высоты, проведённые из
$O$: $OH_1=OH_2=\ldots=OH_n$.
3
Значит окружность с центром $O$ и радиусом $OH_1$ проходит через точки $H_1,H_2,\ldots,H_n$ и
касается сторон многоугольника в этих точках — это и есть вписанная
окружность.
4
Единственность: центр любой вписанной окружности равноудалён от сторон многоугольника, значит
лежит на пересечении биссектрис его углов — то есть совпадает с $O$. А радиус равен расстоянию от
$O$ до сторон, то есть $OH_1$. Значит вписанная окружность только одна.
Теорема доказана.
🧠 Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон
в их серединах (в равнобедренном треугольнике $OA_1A_2$ высота из $O$ — это ещё и медиана).
🧠 Следствие 2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает
с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного
многоугольника.
112. Формулы площади, стороны и радиуса
Пусть $S$ — площадь правильного $n$-угольника, $a_n$ — его сторона, $P$ — периметр, а $r$ и $R$ —
радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
Формула площади. Соединим центр $O$ со всеми вершинами — многоугольник разобьётся на
$n$ равных треугольников.
1
Площадь каждого такого треугольника равна $\tfrac12 a_n r$ (основание $a_n$, высота — апофема $r$).
2
Складывая площади всех $n$ треугольников: $S=n\cdot\tfrac12a_nr=\tfrac12(na_n)r=\tfrac12Pr$, ведь
$P=na_n$ — периметр.
$$S=\frac12 Pr.\qquad(1)$$
Формулы стороны и радиуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник
$A_1H_1O$ (см. рисунок в вкладке «Окружности»), где
$H_1$ — середина стороны $A_1A_2$.
1
Угол при вершине $A_1$ в этом треугольнике равен половине угла $\alpha_n$ многоугольника (диагональ
$OA_1$ — биссектриса угла $A_1$): $\angle A_1=\dfrac{\alpha_n}{2}=\dfrac{n-2}{2n}\cdot180°=90°-\dfrac{180°}{n}$.
2
Катет $A_1H_1$ — половина стороны $a_n$, гипотенуза $OA_1=R$, поэтому
$\tfrac12a_n=R\cos\!\left(90°-\dfrac{180°}{n}\right)=R\sin\dfrac{180°}{n}$, откуда
$$a_n=2R\sin\frac{180°}{n}.\qquad(2)$$
3
Катет $OH_1=r$ — прилежащий к тому же углу, поэтому
$$r=R\cos\frac{180°}{n}.\qquad(3)$$
🧠 Полагая в формуле (2) $n=3,4,6$, получаем стороны правильного треугольника, квадрата и правильного
шестиугольника через радиус описанной окружности:
$$a_3=R\sqrt3,\qquad a_4=R\sqrt2,\qquad a_6=R.\qquad(4)$$
Проверь эти значения во вкладке «Окружности», переключая
$n=3$, $n=4$, $n=6$.
$n$
Фигура
$a_n$ через $R$
$\alpha_n$
3
треугольник
$R\sqrt3$
60°
4
квадрат
$R\sqrt2$
90°
6
шестиугольник
$R$
120°
113. Построение правильных многоугольников
Правильный треугольник и квадрат уже умеем строить циркулем и линейкой (см. §4 главы IV). Для
построения правильных $n$-угольников при $n>4$ обычно используют описанную окружность.
💡 Задача 1. Построить правильный шестиугольник со стороной, равной данному отрезку.
По формуле (4) сторона правильного шестиугольника равна радиусу его описанной окружности ($a_6=R$).
Поэтому строим окружность радиуса, равного данному отрезку, и последовательно откладываем на ней тем же
раствором циркуля точки $A_1,\ldots,A_6$ — вершины готового шестиугольника.
Смотри пошаговое построение во вкладке «Построение» справа.
💡 Задача 2. Дан правильный $n$-угольник — построить правильный $2n$-угольник. Описываем
около данного $n$-угольника окружность (центр $O$ — пересечение биссектрис двух соседних углов), затем
делим пополам каждую дугу между соседними вершинами и соединяем точки деления с концами дуг. Применяя
эту задачу к квадрату, можно построить правильный восьмиугольник, шестнадцатиугольник и вообще
правильный $2^k$-угольник.
🧠 Любопытный факт. Не все правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой:
доказано, что правильный семиугольник построить нельзя, а вот правильный семнадцатиугольник — можно
(хотя и весьма хитрым способом).
🧠 Запомни:
Правильный $n$-угольник — выпуклый, все стороны равны И все углы равны.