💡 Из жизни: одометр велосипеда считает обороты колеса и, зная длину окружности колеса,
переводит их в пройденное расстояние; портной измеряет обхват талии сантиметровой лентой — а это тоже
длина окружности.
Представим, что окружность сделана из тонкой
нерастяжимой нити. Если разрезать нить в какой-нибудь точке и распрямить, получится отрезок — его длина
и есть длина окружности.
Периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность,
— приближённое значение длины окружности. Чем больше число сторон $n$, тем точнее приближение: многоугольник
всё плотнее «прилегает» к окружности (смотри вкладку «Периметр → C» справа, где $n$ растёт от 3 до 96).
Определение. Точное значение длины окружности — это предел, к которому стремится периметр
правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон $n$.
Выведем формулу, выражающую длину окружности через радиус.
1
Пусть $C$ и $C'$ — длины двух окружностей радиусов $R$ и $R'$. Впишем в каждую правильный
$n$-угольник; их периметры обозначим $P_n$ и $P'_n$. По формуле стороны правильного $n$-угольника
$P_n=n\cdot2R\sin\dfrac{180°}{n}$, $P'_n=n\cdot2R'\sin\dfrac{180°}{n}$.
2
Разделив эти равенства друг на друга, множитель $n\sin\dfrac{180°}{n}$ сокращается, и при
любом $n$ получаем $\dfrac{P_n}{P'_n}=\dfrac{2R}{2R'}$.
3
Будем неограниченно увеличивать $n$. Так как $P_n\to C$ и $P'_n\to C'$ (периметр стремится к длине
окружности), предел отношения $\dfrac{P_n}{P'_n}$ равен $\dfrac{C\mkern-2mu}{C'}$.
4
С другой стороны, по шагу 2 этот же предел равен $\dfrac{2R}{2R'}$. Значит $\dfrac{C\mkern-2mu}{C'}=\dfrac{2R}{2R'}$,
откуда $\dfrac{C\mkern-2mu}{2R}=\dfrac{C'}{2R'}$ — отношение длины окружности к её диаметру одинаково для
всех окружностей. Это число обозначают греческой буквой $\pi$.
5
Из $\dfrac{C\mkern-2mu}{2R}=\pi$ получаем формулу длины окружности радиуса $R$:
$$C=2\pi R.$$
Формула доказана.
🧠 Число $\pi$ — бесконечная непериодическая десятичная дробь, то есть иррациональное число.
Приближённое значение $\pi\approx\dfrac{22}{7}$ (с точностью до $0{,}002$) нашёл ещё в III веке до н.э.
Архимед. При решении задач обычно берут $\pi\approx3{,}14$.
Выведем формулу для длины дуги окружности с градусной мерой $\alpha$.
1
Вся окружность (дуга в $360°$) имеет длину $2\pi R$, значит длина дуги в $1°$ равна
$\dfrac{2\pi R}{360°}=\dfrac{\pi R}{180°}$.
2
Дуга с градусной мерой $\alpha$ состоит из $\alpha$ таких «единичных» дуг, поэтому её длина
$$l=\frac{\pi R}{180°}\cdot\alpha.$$
Попробуй потянуть точку $B$ во вкладке «Дуга» — длина дуги
$l$ живо пересчитывается по этой формуле.
⚠️ Частая ошибка: путать окружность и круг. Окружность —
это линия (граница), у неё есть длина $C=2\pi R$. Круг — это часть плоскости внутри окружности
(плоская фигура), у него есть площадь $S=\pi R^2$. Формулу $S=\pi R^2$ для длины окружности
или $2\pi R$ для площади круга писать нельзя — единицы измерения разные (длина — в сантиметрах, площадь —
в квадратных сантиметрах).
115. Площадь круга
Определение.Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круг радиуса $R$ с центром $O$ содержит точку $O$ и все точки плоскости на расстоянии, не большем $R$,
от неё.
Выведем формулу площади круга радиуса $R$. Рассмотрим правильный $n$-угольник, вписанный в окружность,
ограничивающую круг (вкладка «Площадь» справа).
1
Пусть $S$ — площадь данного круга, $S_n$ — площадь вписанного в него правильного $n$-угольника,
а $S'_n$ — площадь окружности, вписанной уже в этот многоугольник (её радиус — апофема
$r_n$).
2
Многоугольник целиком лежит внутри круга, поэтому $S_n<S$. А окружность с радиусом $r_n$ целиком
лежит внутри многоугольника, поэтому $S'_n<S_n$. Итого $S'_n<S_n<S$.
3
Будем неограниченно увеличивать $n$. По формуле апофемы $r_n=R\cos\dfrac{180°}{n}$, а при
$n\to\infty$ $\cos\dfrac{180°}{n}\to1$, значит $r_n\to R$. То есть вписанная окружность стремится к
описанной, и из неравенств шага 2 следует $S_n\to S$.
4
По формуле площади многоугольника $S_n=\tfrac12P_nr_n$, где $P_n$ — периметр. При $n\to\infty$
$P_n\to2\pi R$ (по §114) и $r_n\to R$, поэтому
$$S_n\to\frac12\cdot2\pi R\cdot R=\pi R^2.$$
Значит $S=\pi R^2$. Формула доказана.
🧠 Замечание. Веками математики решали задачу о квадратуре круга:
построить циркулем и линейкой квадрат такой же площади, как у данного круга. Только в конце XIX века
доказали, что такое построение невозможно (из-за иррациональности $\pi$).
116. Площадь кругового сектора и сегмента
Определение.Круговым сектором называется часть круга, ограниченная
дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром.
Дуга, ограничивающая сектор, называется дугой сектора.
Выведем формулу площади $S$ кругового сектора радиуса $R$, ограниченного дугой с градусной мерой $\alpha$
— рассуждение то же, что и для длины дуги.
1
Площадь всего круга равна $\pi R^2$, значит площадь сектора, ограниченного дугой в $1°$, равна
$\dfrac{\pi R^2}{360°}$.
2
Сектор с дугой $\alpha$ состоит из $\alpha$ таких «единичных» секторов, поэтому
$$S=\frac{\pi R^2}{360°}\cdot\alpha.$$
Определение.Круговым сегментом
называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.
Если градусная мера дуги меньше $180°$, площадь сегмента находят, вычитая из площади сектора площадь
равнобедренного треугольника со сторонами — двумя радиусами и хордой сегмента:
$$S_{\text{сегм}}=S_{\text{сект}}-S_{\triangle OAB}=\frac{\pi R^2}{360°}\cdot\alpha-\frac12R^2\sin\alpha.$$
Во вкладке «Сектор и сегмент» тяни точку $B$ — сектор
закрашен оранжевым, а сегмент (сектор минус треугольник) — зелёным, поверх оранжевого остаётся видна
«лишняя» треугольная часть.
💡 Пример (задача 1109а). Найдём длину дуги окружности радиуса $R=6$ см с градусной мерой
$\alpha=30°$: $l=\dfrac{\pi\cdot6}{180°}\cdot30°=\pi\approx3{,}14$ см.
💡 Пример (задача 1126). Из круга радиуса $R=10$ см вырезали сектор с дугой $60°$. Площадь
всего круга $S=\pi R^2=100\pi$ см², площадь вырезанного сектора
$S_{\text{сект}}=\dfrac{100\pi}{360°}\cdot60°=\dfrac{100\pi}{6}=\dfrac{50\pi}{3}$ см². Площадь оставшейся
части: $S_{\text{ост}}=100\pi-\dfrac{50\pi}{3}=\dfrac{250\pi}{3}\approx261{,}8$ см².
🧠 Запомни:
Длина окружности: $C=2\pi R$; $\pi\approx3{,}14$ — иррациональное число.
Длина дуги с градусной мерой $\alpha$: $l=\dfrac{\pi R}{180°}\cdot\alpha$.
Площадь круга: $S=\pi R^2$.
Площадь кругового сектора с дугой $\alpha$: $S=\dfrac{\pi R^2}{360°}\cdot\alpha$.
Площадь сегмента (при $\alpha<180°$): $S_{\text{сегм}}=S_{\text{сект}}-\tfrac12R^2\sin\alpha$.
Окружность — линия, длина; круг — плоская фигура, площадь. Не путать!