Представь, что ты в комнате указываешь одной рукой на угол потолка, а другой — на дверь. Между твоими
руками образуется некий угол — не важно, что руки не пересекаются в пространстве буквально: важно направление,
в котором они «смотрят». Если отложить оба вектора от одной и той же точки, между лучами, на которых они
лежат, всегда можно измерить угол — это и есть угол между векторами.
Определение. Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{OA}=\vec a$ и
$\overrightarrow{OB}=\vec b$. Если векторы $\vec a$ и $\vec b$ не сонаправлены, лучи $OA$ и $OB$ образуют
угол $AOB$; его градусную меру называют углом между векторами $\vec a$ и $\vec b$ и
обозначают $\vec a\,\widehat{\ }\,\vec b$. Если векторы сонаправлены (в частности, один из них или оба
нулевые), угол между ними считается равным $0°$. Если угол между векторами равен $90°$, векторы называются
перпендикулярными: $\vec a\perp\vec b$.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Угол и произведение»
справа потяни концы векторов $\vec a$ и
$\vec b$ (и их высоты ползунками) — живая дуга между ними
и бейдж статуса (острый / тупой / перпендикулярны) пересчитываются мгновенно. При приближении к $90°$
сработает магнит — векторы «защёлкнутся» в перпендикулярное положение.
Скалярное произведение
Определение.Скалярным произведением двух векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов $\vec a$ и $\vec b$ обозначается $\vec a
\cdot\vec b$:
$$\vec a\cdot\vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos(\vec a\,\widehat{\ }\,\vec b).$$
Результат скалярного произведения — не вектор, а число.
Как и в планиметрии, справедливы следующие утверждения (докажи их самостоятельно — рассуждение то же,
что и на плоскости):
скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны;
скалярный квадрат вектора (скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его
длины: $\vec a\cdot\vec a = |\vec a|^2 \ge 0$, причём $\vec a\cdot\vec a>0$ при $\vec a\ne\vec 0$.
Вычисление через координаты
Считать угол через отложенные лучи и транспортир неудобно. Гораздо практичнее, зная координаты векторов,
сразу получить число — и в этом вся сила метода координат.
Скалярное произведение векторов $\vec a\,\{x_1;y_1;z_1\}$ и $\vec b\,\{x_2;y_2;z_2\}$ выражается формулой
$$\vec a\cdot\vec b = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$$
Доказывается это точно так же, как в планиметрии.
Подставив это выражение (и формулы длин векторов через координаты) в определение скалярного произведения,
получаем формулу косинуса угла $\alpha$ между ненулевыми векторами $\vec a\,\{x_1;y_1;z_1\}$ и
$\vec b\,\{x_2;y_2;z_2\}$:
💡 Свойства скалярного произведения. Для любых векторов $\vec a,\vec b,\vec c$ и любого
числа $k$:
1° $\vec a^2\ge 0$, причём $\vec a^2>0$ при $\vec a\ne\vec 0$.
2° $\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a$ (переместительный закон).
3° $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c = \vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$ (распределительный закон, верен
для любого числа слагаемых).
4° $k(\vec a\cdot\vec b)=(k\vec a)\cdot\vec b$ (сочетательный закон).
Пример: задача 692а
Вычислить угол между векторами $\vec a\,\{2;-2;0\}$ и $\vec b\,\{3;0;-3\}$.
1
Скалярное произведение: $\vec a\cdot\vec b = 2\cdot3+(-2)\cdot0+0\cdot(-3)=6$.
2
Длины векторов: $|\vec a|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt8=2\sqrt2$, $\ |\vec b|=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}
=\sqrt{18}=3\sqrt2$.
3
По формуле (1): $\cos\alpha = \dfrac{6}{2\sqrt2\cdot3\sqrt2}=\dfrac{6}{12}=0{,}5$.
4
Значит, $\alpha = 60°$.
Угол между прямыми и между прямой и плоскостью
Направляющим вектором прямой $a$ называется ненулевой вектор, лежащий либо на прямой $a$,
либо на прямой, параллельной $a$.
Задача 1. Угол между двумя прямыми
Пусть $\vec p\,\{x_1;y_1;z_1\}$ и $\vec q\,\{x_2;y_2;z_2\}$ — направляющие векторы прямых $a$ и $b$
(пересекающихся или скрещивающихся). Обозначим $\varphi$ — искомый угол между прямыми, а $\theta = \vec p\,
\widehat{\ }\,\vec q$ — угол между самими векторами. Так как угол между прямыми по определению не
превосходит $90°$, а угол между векторами может быть любым от $0°$ до $180°$, то либо $\varphi=
\theta$ (если $\theta\le90°$), либо $\varphi=180°-\theta$ (если $\theta>90°$). В обоих случаях
$\cos\varphi=|\cos\theta|$, поэтому:
⚠️ Частая ошибка: формулу (1) без модуля (для угла между векторами) путают с
формулой (2) с модулем (для угла между прямыми). Если направляющие векторы образуют тупой угол, а
модуль забыт — косинус получится отрицательным, и калькулятор выдаст угол больше $90°$, чего для угла между
прямыми быть не может. Модуль в числителе — не опечатка, а обязательная часть формулы (2).
Задача 2. Угол между прямой и плоскостью
Пусть $\vec p\,\{x_1;y_1;z_1\}$ — направляющий вектор прямой $a$, $\vec n\,\{x_2;y_2;z_2\}$ — ненулевой
вектор, перпендикулярный к плоскости $\alpha$. Обозначим $\varphi$ — искомый угол между прямой и плоскостью,
$\theta=\vec p\,\widehat{\ }\,\vec n$. Можно доказать, что $\sin\varphi=|\cos\theta|$, поэтому для
$\sin\varphi$ получается такое же выражение, как в правой части формулы (2). Зная $\sin\varphi$ и учитывая,
что $\varphi\le90°$, легко найти сам угол.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Угол между прямыми»
потяни концы направляющих векторов $\vec p$ и
$\vec q$ — обе прямые (пунктирные) продолжаются в обе стороны,
а живая формула считает и угол $\theta$ между векторами, и настоящий угол $\varphi\le90°$ между прямыми.
Пример: задача 706 (кратко)
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, где $AA_1=2AB$, нужно найти угол между прямыми $AC_1$ и
$A_1B$.
1
Введём координаты вершин так, чтобы удобно было считать (учебник даёт конкретную систему для этой
призмы), и найдём координаты направляющих векторов $\overrightarrow{AC_1}$ и $\overrightarrow{BA_1}$
через сторону $a$.
2
Подставляем координаты в формулу (2) и вычисляем числитель и оба множителя знаменателя.
3
После сокращения получаем $\cos\varphi = \dfrac12$, откуда $\varphi=60°$.
Уравнение плоскости
Выведем уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M_0(x_0;y_0;z_0)$ и перпендикулярной к
ненулевому вектору $\vec n\,\{a;b;c\}$ — такой вектор называют вектором нормали плоскости.
1
Если точка $M(x;y;z)$, отличная от $M_0$, принадлежит плоскости $\alpha$, то вектор
$\overrightarrow{M_0M}\,\{x-x_0;\,y-y_0;\,z-z_0\}$ лежит в плоскости $\alpha$, а значит перпендикулярен
вектору нормали $\vec n$. Их скалярное произведение равно нулю:
$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0. \qquad (3)$$
2
Если же точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, то угол между $\vec n$ и
$\overrightarrow{M_0M}$ отличается от $90°$, их скалярное произведение отлично от нуля, и равенство (3)
не выполняется. Координаты $M_0$ уравнению (3), очевидно, удовлетворяют.
3
Значит, уравнению (3) удовлетворяют координаты любой точки плоскости $\alpha$ и только их. Раскрыв
скобки, уравнение (3) записывают в виде $ax+by+cz+d=0$, где $d=-(ax_0+by_0+cz_0)$, а $a^2+b^2+c^2\ne0$ —
это уравнение плоскости первой степени относительно $x,y,z$.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Плоскость» потяни
конец вектора нормали $\vec n$ — полупрозрачная плоскость
поворачивается, а её уравнение $ax+by+cz+d=0$ пересчитывается вживую. Точка $M_0$ всегда лежит в плоскости.
Задача 3. Расстояние от точки до плоскости
Пусть $M_1(x_1;y_1;z_1)$ — данная точка, $ax+by+cz+d=0$ — уравнение плоскости $\alpha$. Рассуждая через
проекцию точки $M_1$ на плоскость и раскладывая вектор проекции вдоль нормали $\vec n\,\{a;b;c\}$, получают
формулу расстояния:
💡 Попробуй сам: там же потяни тестовую точку
$M$ — пунктирный перпендикуляр от неё до плоскости и живое значение $l$ показывают формулу расстояния
в действии.
🧠 Запомни: • $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos(\vec a\,\widehat{\ }\,\vec b)$ — скалярное произведение, число,
через координаты: $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.
• $\vec a\cdot\vec b=0$ (для ненулевых векторов) $\iff \vec a\perp\vec b$; скалярный квадрат
$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$.
• Угол между векторами — формула (1), без модуля (может быть тупым).
• Угол между прямыми и между прямой и плоскостью — формула (2), с
модулем (не больше $90°$).
• Уравнение плоскости через нормаль $\vec n\{a;b;c\}$ и точку $M_0$: $ax+by+cz+d=0$.
• Расстояние от точки до плоскости: $l=\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.