В планиметрии ты уже встречал движения плоскости — отображения, которые сохраняют расстояния между
точками. То же самое можно определить и для пространства. Представь, что ты берёшь твёрдую фигуру и
как-то переставляешь все её точки, но так, что расстояния между любыми двумя точками фигуры не меняются
(будто фигура сделана из железа и её нельзя ни растянуть, ни смять) — это и есть движение.
Определение. Пусть каждой точке $M$ пространства поставлена в соответствие некоторая точка
$M_1$, причём любая точка $M_1$ пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке $M$. Тогда
говорят, что задано отображение пространства на себя; точка $M$ переходит (отображается)
в точку $M_1$. Движением пространства называется отображение пространства на себя, при
котором любые две точки $A$ и $B$ переходят в точки $A_1$ и $B_1$ так, что $A_1B_1=AB$ — то есть
отображение, сохраняющее расстояния между точками.
Центральная симметрия
Центральной симметрией с центром $O$ называется отображение пространства на себя, при
котором любая точка $M$ переходит в симметричную ей точку $M_1$ относительно данного центра $O$ (то есть
$O$ — середина отрезка $MM_1$).
Введём систему координат $Oxyz$ с началом в точке $O$. Если $M(x;y;z)$, а $M_1(x_1;y_1;z_1)$ —
симметричная ей относительно $O$ точка, то по формулам координат середины отрезка $\frac{x+x_1}{2}=0$,
$\frac{y+y_1}{2}=0$, $\frac{z+z_1}{2}=0$, откуда:
$$x_1=-x,\qquad y_1=-y,\qquad z_1=-z.$$
1
Возьмём точки $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$. При центральной симметрии с центром $O$ (началом
координат) они переходят в точки $A_1(-x_1;-y_1;-z_1)$ и $B_1(-x_2;-y_2;-z_2)$.
2
По формуле расстояния между двумя точками:
$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$
3
Для образов: $A_1B_1=\sqrt{(-x_2+x_1)^2+(-y_2+y_1)^2+(-z_2+z_1)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.$
4
Каждое слагаемое под корнем в выражении для $A_1B_1$ совпадает (с точностью до знака внутри скобки,
который при возведении в квадрат исчезает) со слагаемым в выражении для $AB$. Значит, $A_1B_1=AB$, что и
требовалось доказать — центральная симметрия является движением.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Центральная симметрия»
справа потяни центр $O$ — оранжевый образ треугольника
$A_1B_1C_1$ всегда лежит зеркально относительно $O$: каждая точка образа получается продолжением отрезка
от вершины через $O$ на такое же расстояние.
Осевая симметрия
Осевой симметрией с осью $a$ называется такое отображение пространства на себя, при котором
любая точка $M$ переходит в симметричную ей точку $M_1$ относительно оси $a$ (прямая $a$ проходит через
середину $MM_1$ и перпендикулярна к нему).
Введём координаты так, чтобы ось $Oz$ совпала с осью симметрии. Рассуждая так же, как для центральной
симметрии (только теперь равны нулю не все три координаты середины, а лишь $x$ и $y$, а аппликаты $M$ и
$M_1$ совпадают, потому что отрезок $MM_1$ перпендикулярен оси $Oz$), получаем:
$$x_1=-x,\qquad y_1=-y,\qquad z_1=z.$$
Доказательство того, что $A_1B_1=AB$, проводится совершенно аналогично центральной симметрии — по формуле
расстояния между двумя точками, только третье слагаемое под корнем ($z_2-z_1$) в обоих случаях одно и то же,
а не меняет знак.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Осевая симметрия»
потяни точку на оси — ось $a$ (пунктирная вертикальная прямая)
сдвигается вместе с ней, а образ $A_1B_1C_1$ отражается относительно этой прямой. Заметь: высота каждой точки
(аппликата $z$) при осевой симметрии не меняется.
Зеркальная симметрия
Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости $\alpha$) называется такое
отображение пространства на себя, при котором любая точка $M$ переходит в симметричную ей относительно
плоскости $\alpha$ точку $M_1$.
Введём координаты так, чтобы плоскость $Oxy$ совпала с плоскостью симметрии. Отрезок $MM_1$ 1) проходит
через середину, лежащую в плоскости $Oxy$, и 2) перпендикулярен к ней, то есть параллелен оси $Oz$. Отсюда:
$$x_1=x,\qquad y_1=y,\qquad z_1=-z.$$
И снова доказательство $A_1B_1=AB$ дословно повторяет два предыдущих случая — под корнем в формуле
расстояния меняется знак только у одного слагаемого (теперь связанного с $z$), а после возведения в квадрат
знак не влияет на результат.
⚠️ Частая ошибка: считать, что любое движение можно получить, просто повернув или перенеся
твёрдую фигуру в пространстве «как есть», не переворачивая её. Осевая симметрия — это на самом деле поворот
на $180°$ вокруг оси, его действительно можно выполнить руками. А вот центральная и зеркальная симметрии
меняют фигуру на её зеркальное отражение — как правая перчатка превращается в левую. Такой
результат никаким поворотом или переносом получить нельзя, нужно именно «отразить» фигуру.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Зеркальная симметрия»
потяни вектор нормали плоскости — полупрозрачная плоскость
$\alpha$ поворачивается вместе с ним, а от каждой вершины фигуры до образа тянется пунктирный перпендикуляр,
проходящий ровно через плоскость.
Параллельный перенос
Возьмём произвольный вектор $\vec p$. Параллельным переносом на вектор $\vec p$ называется
отображение пространства на себя, при котором любая точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что
$\overrightarrow{MM_1}=\vec p$.
1
Пусть $A$ и $B$ — произвольные точки. При параллельном переносе на вектор $\vec p$ они переходят в
точки $A_1$ и $B_1$, такие, что $\overrightarrow{AA_1}=\vec p$ и $\overrightarrow{BB_1}=\vec p$.
2
По правилу треугольника $\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1B_1}$. С
другой стороны, $\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}$.
3
Приравнивая правые части: $\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}+
\overrightarrow{BB_1}$, то есть $\vec p+\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}+\vec p$, откуда
$\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}$.
4
Равные векторы имеют равные длины, значит $A_1B_1=AB$ — параллельный перенос является движением, что
и требовалось доказать.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Параллельный перенос»
потяни конец вектора $\vec p$ — все три вершины фигуры сдвигаются
на один и тот же вектор, поэтому образ $A_1B_1C_1$ выглядит как исходный треугольник, просто «уехавший» в
сторону без поворотов и растяжений.
Можно доказать (совершенно так же, как в планиметрии), что при любом движении отрезок переходит в
отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость. Понятие наложения, с помощью которого в школьном курсе
вводится равенство фигур, совпадает с понятием движения: любое наложение является движением, и обратно —
любое движение является наложением.
Преобразование подобия и гомотетия
Центральным подобием (гомотетией) с центром $O$ и коэффициентом $k\ne0$ называется
отображение пространства на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что
$\overrightarrow{OM_1}=k\overrightarrow{OM}$.
Можно доказать, что если при гомотетии с коэффициентом $k$ точки $A$ и $B$ переходят в $A_1$ и $B_1$, то
$\overrightarrow{A_1B_1}=k\overrightarrow{AB}$. Отсюда, в частности, следует, что при гомотетии треугольник
переходит в подобный ему треугольник, плоскость, проходящая через $O$, переходит в себя, не проходящая через
$O$ — в параллельную ей плоскость, а сфера с центром $C$ радиуса $r$ — в сферу с центром $C_1$ радиуса
$|k|\cdot r$, где $C_1$ — точка, в которую переходит $C$.
Преобразованием подобия с коэффициентом $k>0$ называется отображение пространства на себя,
при котором любые две точки $A$ и $B$ переходят в такие точки $A_1$ и $B_1$, что $A_1B_1=k\cdot AB$.
Движение — частный случай преобразования подобия (при $k=1$). Гомотетия — тоже пример преобразования
подобия. Оказывается, верно и обратное: любое преобразование подобия представляет собой
результат последовательного выполнения движения и гомотетии — доказывается это через рассмотрение вспомогательной
гомотетии с коэффициентом $\frac1k$, применённой к образу исходного преобразования.
Преобразование подобия позволяет ввести понятие подобия произвольных тел: два тела называются подобными,
если существует преобразование подобия, переводящее одно из них в другое. Из формулы объёма следует, что
отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
💡 Попробуй сам: на вкладке «Подобие» потяни
центр $O$ и подвинь ползунок коэффициента $k$ — при $|k|>1$ образ увеличивается, при $|k|<1$ уменьшается, а
при отрицательном $k$ оказывается по другую сторону от центра $O$. Живое отношение $A_1B_1/AB$ всегда равно
$|k|$.
Пример: задача 719 (координаты образов)
Найдём координаты точки, в которую переходит $A(0;1;2)$ при разных движениях.
1
При центральной симметрии относительно начала координат: $x_1=-x,\,y_1=-y,\,z_1=-z$
$\Rightarrow$ $A_1(0;-1;-2)$.
2
При осевой симметрии относительно оси $Oz$: $x_1=-x,\,y_1=-y,\,z_1=z$ $\Rightarrow$
$A_1(0;-1;2)$.
3
При зеркальной симметрии относительно плоскости $Oxy$: $x_1=x,\,y_1=y,\,z_1=-z$
$\Rightarrow$ $A_1(0;1;-2)$.
🧠 Запомни: • Движение — отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния: $A_1B_1=AB$.
• Центральная симметрия (центр — начало координат): $x_1=-x,\ y_1=-y,\ z_1=-z$.
• Осевая симметрия (ось $Oz$): $x_1=-x,\ y_1=-y,\ z_1=z$.
• Зеркальная симметрия (плоскость $Oxy$): $x_1=x,\ y_1=y,\ z_1=-z$.
• Параллельный перенос на $\vec p$: $\overrightarrow{MM_1}=\vec p$ для каждой точки — все векторы переноса
одинаковы.
• Гомотетия с центром $O$, коэффициентом $k\ne0$: $\overrightarrow{OM_1}=k\overrightarrow{OM}$,
$A_1B_1=|k|\cdot AB$ — частный случай преобразования подобия ($k>0$); при $k=1$ гомотетия превращается в
тождественное отображение, движение — в частный случай подобия.