Углы и отрезки, связанные с окружностью

Угол между касательной и хордой

Ты уже знаешь: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Похожее, очень удобное правило работает и для угла между касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания — как будто касательная в этой точке ведёт себя как «предельный случай» хорды.

Теорема. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключённой в нём дуги: если касательная $CC_1$ касается окружности в точке $A$, а хорда $AB$ делит плоскость так, что дуга $\overset{\smile}{AB}$ лежит внутри угла $BAC$, то $$\angle BAC=\tfrac12\overset{\smile}{AB}.$$

💡 Из жизни: представь спутник, который по инерции летит по прямой линии, касательной
к круговой орбите станции в точке старта. Угол, под которым эта «стартовая прямая» отклоняется от линии
к любой другой точке орбиты, всегда завязан на длину дуги между этими точками — ровно так же, как в
теореме. На вкладке «Касательная и хорда» потяни
точку $B$ по окружности и посмотри, как меняется угол вместе с дугой.

Отрезки хорд и касательных

Из теоремы о вписанном угле следует, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Это наблюдение позволяет доказать две полезные теоремы об отрезках, связанных с окружностью.

Теорема 1. Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды: если хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$, то $$AE\cdot EC = BE\cdot ED.$$ Доказательство. Треугольники $ADE$ и $CBE$ подобны по первому признаку: $\angle 1=\angle 2$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BD$; $\angle 3=\angle 4$ как вертикальные. Значит $\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{DE}{BE}$, откуда $AE\cdot BE=CE\cdot DE$.

Теорема 2 (о квадрате касательной). Если через точку $M$ проведены секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$, и касательная $MK$ ($K$ — точка касания), то $$MA\cdot MB = MK^2.$$ Коротко: произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. Доказательство. Треугольники $AKM$ и $KBM$ подобны: угол при $M$ общий, а $\angle AKM=\angle B$, так как оба измеряются половиной дуги $AK$. Значит $\dfrac{MK}{MA}=\dfrac{MB}{MK}$, откуда $MA\cdot MB=MK^2$.

💡 Замечание (степень точки). Отсюда следует, что произведение $MA\cdot MB$ вообще не
зависит от того, какую секущую (или хорду) через $M$ мы выбрали — оно определяется только положением
точки $M$ относительно окружности: $MA\cdot MB=OM^2-R^2$, если $M$ вне окружности, и
$MA\cdot MB=R^2-OM^2$, если $M$ внутри. Проверь это на вкладках «Внутри круга» и «Вне круга»
справа — независимо от того, как ты тянешь точки, произведения совпадают.

Углы с вершиной внутри и вне круга

Теоремы о вписанном угле и об угле между касательной и хордой позволяют выразить через дуги любой угол, связанный с окружностью — даже если его вершина не лежит на самой окружности.

Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой заключённых между ними дуг: $$\angle AMB=\tfrac12\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{CD}\right).$$ Идея доказательства: проведём хорду $BC$. Угол $AMB$ — внешний угол треугольника $BMC$, поэтому $\angle AMB=\angle 1+\angle 2$, где $\angle 1$ и $\angle 2$ — вписанные углы, опирающиеся на дуги $CD$ и $AB$ соответственно.

Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки $M$ вне круга, измеряется полуразностью заключённых внутри него дуг: $$\angle AMB=\tfrac12\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{PQ}\right),$$ где $A,B$ — дальние точки пересечения секущих с окружностью, а $P,Q$ — ближние. Идея доказательства: угол $1$ (при дальней точке $A$, между хордами $AP'$… точнее между $AQ$ и $AB$) — внешний угол треугольника $AMQ$, поэтому $\angle 1=\angle 2+\angle AMB$, где $\angle 1,\angle 2$ — вписанные углы на дуги $AB$ и $PQ$.

Точно так же доказываются ещё два родственных факта (без отдельной визуализации, но по той же схеме): угол между касательной и секущей из одной точки измеряется полуразностью заключённых дуг, $\angle AMK=\tfrac12(\overset{\smile}{AK}-\overset{\smile}{BK})$; а угол между двумя касательными из одной точки равен $180°$ минус меньшая из двух дуг между точками касания: $\angle KML=180°-\overset{\smile}{KL}$.

⚠️ Частая ошибка: перепутать полусумму и полуразность. Если вершина угла лежит внутри круга — дуги складываются (угол «нарастает» изнутри пересечения). Если вершина вне круга — дуги вычитаются, причём из большей (дальней) дуги вычитается меньшая (ближняя). Легко запомнить по картинке: чем дальше вершина от круга, тем «уже» угол по сравнению с суммой дуг — поэтому формула именно с минусом.

💡 Попробуй сам: на вкладке «Внутри
круга» потяни любую из четырёх точек $A,B,C,D$ — угол в точке пересечения хорд всегда равен
полусумме подсвеченных дуг. На вкладке «Вне круга»
потяни внешнюю точку $M$ или дальние точки секущих — угол равен полуразности дуг, и он тем меньше, чем
ближе друг к другу дальняя и ближняя дуги.

Вписанный четырёхугольник

Многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным в окружность, а сама окружность — описанной около этого многоугольника. Для треугольника такая окружность есть всегда, а вот для четырёхугольника — не всегда.

Теорема. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180°$: $$\angle A+\angle C=180°,\qquad \angle B+\angle D=180°.$$ Доказательство. По теореме о вписанном угле $\angle A=\tfrac12\overset{\smile}{BCD}$, $\angle C=\tfrac12\overset{\smile}{BAD}$, а дуги $BCD$ и $BAD$ вместе составляют полную окружность, поэтому $\angle A+\angle C=\tfrac12\cdot360°=180°$.

Верно и обратное утверждение — признак вписанного четырёхугольника: если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна $180°$, то около него можно описать окружность (доказывается от противного: если бы четвёртая вершина не лежала на окружности, описанной около трёх других, то она была бы либо строго внутри, либо строго вне — и тогда сумма противоположных углов оказалась бы либо больше, либо меньше $180°$, что противоречит условию).

🧠 Полезное следствие: если $\angle A=\angle C=90°$, то диагональ $AC$ — диаметр описанной окружности. В общем случае множество всех точек $M$, из которых отрезок $AB$ виден под прямым углом ($\angle AMB=90°$), — это окружность с диаметром $AB$ (без самих точек $A$ и $B$). Такое множество точек называют геометрическим местом точек.

💡 Попробуй сам: на вкладке «Вписанный
четырёхугольник» потяни любую из вершин по окружности — сумма противоположных углов $A$ и $C$
всегда остаётся равной $180°$, как бы ты ни менял форму четырёхугольника.

Описанный четырёхугольник

Многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности, называется описанным около окружности, а сама окружность — вписанной в этот многоугольник.

Теорема. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $$AB+CD=BC+AD.$$ Доказательство. Отрезки касательных, проведённые из одной вершины к окружности, равны. Обозначив через $a,b,c,d$ длины отрезков касательных от вершин $A,B,C,D$ соответственно, получаем $AB+CD=(a+b)+(c+d)$ и $BC+AD=(b+c)+(d+a)$ — оба выражения равны $a+b+c+d$.

Обратное утверждение — признак описанного четырёхугольника: если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. Идея доказательства: точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ равноудалена от сторон $AB$, $AD$ и $BC$, поэтому окружность с центром в этой точке касается этих трёх сторон; методом от противного (сравнивая с вспомогательным описанным четырёхугольником $ABC'D'$, где $C'D'\parallel CD$) показывается, что она касается и четвёртой стороны $CD$.

💡 Попробуй сам: на вкладке «Описанный
четырёхугольник» потяни любую из точек касания на окружности — суммы противоположных сторон
$AB+CD$ и $BC+AD$ остаются равными.

🧠 Запомни:
• Угол между касательной и хордой = половина заключённой дуги.
• Пересекающиеся хорды: $AE\cdot EC=BE\cdot ED$; угол между ними = полусумма дуг.
• Секущие/касательные из внешней точки: $MA\cdot MB=MK^2=OM^2-R^2$; угол между ними = полуразность дуг.
• Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов $=180°$.
• Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны.

← Глава VII · §3 Движения Все темы Глава VIII* · §2 → Решение треугольников

Потяни точки на окружности.