10 класс · Корни, степени, логарифмы

Простейшие логарифмические неравенства

          🎯
          Из жизниМагнитуда землетрясения по шкале Рихтера — это логарифм отношения амплитуд колебаний. Вопрос «при каких значениях амплитуды магнитуда превысит 6» превращается в неравенство вида $\log_a x\gt 6$ — простейшее логарифмическое неравенство.
        

Определение

🔑 Простейшее логарифмическое неравенствоНеравенства $\log_a x\gt b$ и $\log_a x \lt b$ ($a\gt 0$, $a\ne1$) называют простейшими логарифмическими неравенствами. Их записывают как $\log_a x \lessgtr \log_a x_0$, где $x_0=a^{b}$.

Монотонность решает всё

При $a\gt 1$ функция $\log_a x$ возрастает на $(0;+\infty)$: $\log_a x\gt\log_a x_0$ равносильно $x\gt x_0$ — решение $(x_0;+\infty)$, а $\log_a x \lt \log_a x_0$ — решение $(0;x_0)$.

При $0 \lt a \lt 1$ функция $\log_a x$ убывает — знак при переходе к $x$ меняется: $\log_a x\gt\log_a x_0$ даёт $(0;x_0)$, а $\log_a x \lt \log_a x_0$ даёт $(x_0;+\infty)$.

Примеры

Пример. $\log_{1/3}x\gt-2=\log_{1/3}9$: так как $\tfrac13 \lt 1$ (убывание), $0 \lt x \lt 9$. Ответ: $(0;9)$.

Пример. $\log_4x\gt\tfrac12=\log_42$: так как $4\gt 1$ (возрастание), $x\gt 2$. Ответ: $(2;+\infty)$.

Пример. $\log_3x-3\log_9x-\log_{81}x\gt 1{,}5$: приводя к основанию 3 ($\log_9x=\tfrac12\log_3x$, $\log_{81}x=\tfrac14\log_3x$), получаем $\left(1-\tfrac32-\tfrac14\right)\log_3x\gt 1{,}5$, т.е. $\log_3x \lt \log_3\tfrac19$, откуда $0 \lt x \lt \tfrac19$. Ответ: $\left(0;\tfrac19\right)$.

⚠️ Частая ошибкаЗабывают, что решение логарифмического неравенства всегда должно лежать в области определения $x\gt 0$. Даже если формально получилось «$x \lt x_0$», ответ — не вся полупрямая до минус бесконечности, а только промежуток $(0;x_0)$.

Запомни

🧠 $\log_a x\lessgtr b$ ($a\gt 0,\ a\ne1$), $x_0=a^{b}$

$a\gt 1$ (возрастает) — знак сохраняется при переходе к $x$;
$0 \lt a \lt 1$ (убывает) — знак меняется на противоположный;
ответ всегда внутри области определения $x\gt 0$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике