🎯Из жизниМагнитуда землетрясения по шкале Рихтера — это логарифм отношения амплитуд колебаний. Вопрос «при каких значениях амплитуды магнитуда превысит 6» превращается в неравенство вида $\log_a x\gt6$ — простейшее логарифмическое неравенство.
Определение
🔑Простейшее логарифмическое неравенствоНеравенства $\log_a x\gtb$ и $\log_a x \lt b$ ($a\gt0$, $a\ne1$) называют простейшими логарифмическими неравенствами. Их записывают как $\log_a x \lessgtr \log_a x_0$, где $x_0=a^{b}$.
Монотонность решает всё
При $a\gt1$ функция $\log_a x$ возрастает на $(0;+\infty)$: $\log_a x\gt\log_a x_0$ равносильно $x\gtx_0$ — решение $(x_0;+\infty)$, а $\log_a x \lt \log_a x_0$ — решение $(0;x_0)$.
При $0 \lt a \lt 1$ функция $\log_a x$ убывает — знак при переходе к $x$ меняется: $\log_a x\gt\log_a x_0$ даёт $(0;x_0)$, а $\log_a x \lt \log_a x_0$ даёт $(x_0;+\infty)$.
Примеры
Пример. $\log_{1/3}x\gt-2=\log_{1/3}9$: так как $\tfrac13 \lt 1$ (убывание), $0 \lt x \lt 9$. Ответ: $(0;9)$.
Пример. $\log_4x\gt\tfrac12=\log_42$: так как $4\gt1$ (возрастание), $x\gt2$. Ответ: $(2;+\infty)$.
Пример. $\log_3x-3\log_9x-\log_{81}x\gt1{,}5$: приводя к основанию 3 ($\log_9x=\tfrac12\log_3x$, $\log_{81}x=\tfrac14\log_3x$), получаем $\left(1-\tfrac32-\tfrac14\right)\log_3x\gt1{,}5$, т.е. $\log_3x \lt \log_3\tfrac19$, откуда $0 \lt x \lt \tfrac19$. Ответ: $\left(0;\tfrac19\right)$.
⚠️Частая ошибкаЗабывают, что решение логарифмического неравенства всегда должно лежать в области определения $x\gt0$. Даже если формально получилось «$x \lt x_0$», ответ — не вся полупрямая до минус бесконечности, а только промежуток $(0;x_0)$.