$4^{x}-3\cdot2^{x}+2\gt0$. Замена $t=2^{x}$ (значит, обязательно $t\gt0$) даёт квадратное неравенство:
$$t^{2}-3t+2\gt0 \;\Rightarrow\; t \lt 1 \ \text{или} \ t\gt2$$Возвращаемся к $x$: $2^{x} \lt 1 \Rightarrow x \lt 0$; $\;2^{x}\gt2 \Rightarrow x\gt1$. Смотри на графике справа, как область на оси $t$ превращается в область на оси $x$.
$$\text{Ответ: } x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$$\log_2^{2}x-2\log_2x-3 \lt 0$: замена $t=\log_2x$ даёт $-1 \lt t \lt 3$, откуда $\tfrac12 \lt x \lt 8$. Здесь ограничения $t\gt0$ нет — у логарифмической замены область значений $t$ вся числовая прямая.
А в неравенстве $\log_{0{,}5}(x^{2}-3x+2)\gt-1=\log_{0{,}5}2$ замена $t=x^{2}-3x+2$ (убывающее основание) даёт $0 \lt t \lt 2$, и решение исходного двойного неравенства $0 \lt x^{2}-3x+2 \lt 2$ распадается на два промежутка: $(0;1)\cup(2;3)$.
Иногда после замены получается дробно-рациональное неравенство относительно $t$, часть решений которого не подходит по смыслу исходной замены. Пример: $49\cdot5^{3x-4}-25\cdot7^{3x-4}\gt0$ делением на $7^{3x-4}\gt0$ сводится к $\left(\dfrac57\right)^{3x-4}\gt\left(\dfrac57\right)^{2}$ — так как $\tfrac57 \lt 1$ (убывание), $3x-4 \lt 2$, откуда $x \lt 2$.