10 класс · Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции
Радианная мера угла
ОпределениеУгол, при котором конец подвижного вектора проходит по окружности расстояние, равное радиусу $R$, называют углом в $1$ радиан. Величина не зависит от того, какой радиус $R$ мы взяли — важно только отношение «дуга к радиусу».
Откуда берётся $2\pi$
Длина окружности равна $2\pi R$, значит полный оборот — это угол в $2\pi$ радиан, что соответствует $360°$. Справа радиус «откладывается» вдоль окружности как линейка — посчитай, сколько раз он поместится в дуге.
$$360°=2\pi\ \text{рад},\quad 1\ \text{рад}=\dfrac{180°}{\pi}\approx57°17'45'',\quad 1°=\dfrac{\pi}{180}\ \text{рад}$$Общая формула перевода: угол $\alpha$ радиан равен $\left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)\cdot180°$.
Договорённость о записиСлово «радиан» обычно опускают: пишут $180°=\pi$, $-\tfrac{\pi}{3}=-60°$, $1°=\tfrac{\pi}{180}\approx0{,}017453$. Далее вместо «угол, радианная мера которого равна $\alpha$ радиан» говорят просто «угол $\alpha$».
Запись через полные обороты
Для любого действительного $\alpha$ существует единственный угол с радианной мерой $\alpha$; его меру можно записать как:
$$\alpha = \alpha_0 + 2\pi k, \quad 0\le\alpha_0\lt2\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$Это тот же приём, что и в градусах — просто вместо $360°$ используется $2\pi$.
Частая ошибкаНе путай радиан с градусом «на глаз»: $1$ радиан $\approx57°$ — это довольно большой угол, почти как $60°$. А $\pi$ радиан (не $\pi°$!) — это ровно $180°$, развёрнутый угол.
Запомни
Радианная мера
- $1$ радиан — угол, дуга которого равна радиусу;
- $2\pi\ \text{рад} = 360°$, отсюда $\pi\ \text{рад}=180°$, $\tfrac{\pi}{2}\ \text{рад}=90°$;
- перевод градусы → радианы: умножь на $\tfrac{\pi}{180}$; радианы → градусы: умножь на $\tfrac{180}{\pi}$.