Алгебра 10 класс: Основные формулы для sin и cos

📐 Теорема 1 (основное тригонометрическое тождество)Для любого угла $\alpha$:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Доказательство. Единичная окружность имеет уравнение $x^2+y^2=1$; точка $(\cos\alpha,\sin\alpha)$, соответствующая углу $\alpha$, лежит на ней, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению. Переключи вкладку справа, чтобы увидеть это на чертеже.

Пример. $\cos\alpha=-\tfrac35$, $\alpha\in\left(\pi;\tfrac{3\pi}{2}\right)$: $\sin^2\alpha=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}$, и так как $\sin\alpha \lt 0$ в этом интервале, $\sin\alpha=-\tfrac45$.

Следствие. $|\sin\alpha|\le1$, $|\cos\alpha|\le1$ (так как $\cos^2\alpha\ge0$ даёт $\sin^2\alpha\le1$, и наоборот).

🔄 Теорема 2Для любого угла $\alpha$:

$$\cos(-\alpha)=\cos\alpha, \qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$

Доказательство. Точки, соответствующие $\alpha$ и $-\alpha$, симметричны относительно оси $Ox$: одинаковые абсциссы, противоположные ординаты.

🔁 Теорема 3Для любого угла $\alpha$ и целого $k$:

$$\sin(\alpha+2\pi k)=\sin\alpha, \qquad \cos(\alpha+2\pi k)=\cos\alpha$$

Доказательство. Углам $\alpha$ и $\alpha+2\pi k$ соответствует одна и та же точка единичной окружности.

Формулы приведения для сдвига на $\pi$

$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha, \qquad \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$$

Доказательство. Точки, соответствующие $\alpha$ и $\alpha+\pi$, симметричны относительно начала координат (обе координаты меняют знак).

Пример. $\sin\tfrac{5\pi}{4}=\sin\left(\pi+\tfrac{\pi}{4}\right)=-\sin\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt2}{2}$; $\cos225°=\cos(180°+45°)=-\cos45°=-\tfrac{\sqrt2}{2}$.

⚠️ Частая ошибка$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, но $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ (без минуса!). Косинус — чётная функция, синус — нечётная. Перепроверяй знак у каждой формулы отдельно, не по аналогии.

Запомни

🧠 Три семейства формул

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ — точка $(\cos\alpha;\sin\alpha)$ лежит на окружности радиуса $1$;
$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$, $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$ — симметрия относительно оси $Ox$;
$\sin(\alpha+2\pi k)=\sin\alpha$, $\cos(\alpha+2\pi k)=\cos\alpha$ — периодичность через полные обороты;
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$ — симметрия относительно начала координат.

§7 · п.7.3 Определение синуса и косинуса угла Все темы §7 · п.7.5 Арксинус

Основное тождество: $x^2+y^2=1$