Для числа $a$, $|a|\le1$, прямая $y=a$ пересекает правую полуокружность единичной окружности в единственной точке $B$; вектор $OB$ образует с $OA$ единственный угол $\alpha_1$ из промежутка $\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. Этот угол обозначают $\arcsin a$.
Для $|a|\le1$ $\arcsin a$ существует и единственен; для $|a|\gt1$ — не существует (запись смысла не имеет). Из определения: $\sin(\arcsin a)=a$ при $|a|\le1$.
Примеры. $\arcsin0=0$; $\arcsin1=\tfrac{\pi}{2}$; $\arcsin(-1)=-\tfrac{\pi}{2}$; $\arcsin\tfrac12=\tfrac{\pi}{6}$.
Если $|a| \lt 1$: прямая $y=a$ пересекает окружность в двух точках, соответствующих углам $\alpha_0=\arcsin a$ и $\beta_0=\pi-\arcsin a$ (двигай ползунок справа — вторая точка появится сама). Все решения:
$$\alpha = \arcsin a + 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}; \qquad \alpha = \pi - \arcsin a + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$Если $a=1$: единственная серия $\alpha=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$. Если $a=-1$: единственная серия $\alpha=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$ (обе точки сливаются). Если $|a|\gt1$: решений нет.