Алгебра 10 класс: Формулы для арктангенса и арккотангенса

        🎯
        ИдеяТак же, как арксинус нечётен, арктангенс — тоже нечётная функция. А вот арккотангенс, как и арккосинус, «дополняет» до $\pi$: чем больше $a$, тем меньше $\operatorname{arcctg} a$.
      

📐 Формула нечётности арктангенсаДля любого действительного $a$:

$$\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$$

Доказательство. Пусть $\alpha=\operatorname{arctg} a$ ($\alpha\in\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$, $\operatorname{tg}\alpha=a$). Так как $\operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha=-a$ и $-\alpha\in\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$, по определению $\operatorname{arctg}(-a)=-\alpha$.

📐 Формула для арккотангенса отрицательного аргументаДля любого действительного $a$:

$$\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg} a$$

Доказательство. Пусть $\alpha=\operatorname{arcctg} a$ ($\alpha\in(0;\pi)$, $\operatorname{ctg}\alpha=a$). Так как $\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha=-a$ и $\pi-\alpha\in(0;\pi)$, по определению $\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\alpha$.

Примеры. $\operatorname{arctg}(-1)=-\tfrac{\pi}{4}$; $\operatorname{arctg}(-\sqrt3)=-\tfrac{\pi}{3}$; $\operatorname{arcctg}(-1)=\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}$; $\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}$.

Тождества с ограничением области

Для $\alpha\in\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$: $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\alpha) = \alpha$. Для $\alpha\in(0;\pi)$: $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\alpha) = \alpha$.

Пример. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}10)$: так как $10\notin\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$, но $\operatorname{tg}10=\operatorname{tg}(10-3\pi)$, а $10-3\pi\in\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$, получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}10) = 10-3\pi$.

Пример. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\tfrac{\pi}{3}))$: так как $-\tfrac{\pi}{3}\notin(0;\pi)$, но $\operatorname{ctg}(-\tfrac{\pi}{3})=\operatorname{ctg}(\pi-\tfrac{\pi}{3})=\operatorname{ctg}\tfrac{2\pi}{3}$, а $\tfrac{2\pi}{3}\in(0;\pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\tfrac{\pi}{3})) = \tfrac{2\pi}{3}$.

⚠️ Частая ошибкаТождество $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\alpha)=\alpha$ работает только когда $\alpha$ уже внутри $\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$! Если угол снаружи — сначала найди «дублёра» этого же значения тангенса внутри нужного промежутка (пример выше), а не пиши ответ «в лоб».

Запомни

🧠 Формулы §8.6

$\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg} a$ — арктангенс нечётный;
$\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg} a$ — «дополняющий», как арккосинус;
$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\alpha)=\alpha$ только при $\alpha\in\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$, $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\alpha)=\alpha$ только при $\alpha\in(0;\pi)$.

§8 · п.8.5 Примеры использования арктангенса и арккотангенса Все темы §9 · п.9.1 Косинус разности и косинус суммы двух углов

Симметрия точек $\alpha$ и $-\alpha$