11.5. Простейшие неравенства для синуса и косинуса
🌗ИдеяДля уравнения $\sin x=a$ нас интересовала точка пересечения с прямой $y=a$. Для неравенства $\sin x\gt a$ интересна уже целая дуга окружности — та её часть, что лежит выше этой прямой. Всё остальное — то же самое: дуга повторяется через каждый период.
📐ОпределениеНеравенства $f(x)\gt a$ и $f(x)\lt a$, где $f$ — основная тригонометрическая функция, называют простейшими тригонометрическими неравенствами. Из-за периодичности решение на промежутке длины главного периода $T$ — интервал $(\alpha;\beta)$, а полное решение — серия интервалов $(\alpha+kT;\ \beta+kT)$, $k\in\mathbb{Z}$.
Формулы решений (при $-1\lt a\lt1$)
$$\sin x \gt a:\quad \arcsin a+2\pi k \lt x \lt \pi-\arcsin a+2\pi k$$
$$\sin x \lt a:\quad \pi-\arcsin a+2\pi k \lt x \lt 2\pi+\arcsin a+2\pi k$$
$$\cos x \gt a:\quad -\arccos a+2\pi k \lt x \lt \arccos a+2\pi k$$
$$\cos x \lt a:\quad \arccos a+2\pi k \lt x \lt 2\pi-\arccos a+2\pi k$$
При $a\ge1$ неравенство $\sin x\gt a$ (и $\cos x\gt a$) решений не имеет; при $a\le-1$ — решение вся числовая прямая (с точностью до отдельных точек в крайних случаях $a=\pm1$).
Примеры
$\sin x\gt\tfrac12$: серия $\left(\tfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\right)$.
$\cos x\gt\tfrac12$: серия $\left(-\tfrac{\pi}{3}+2\pi k;\ \tfrac{\pi}{3}+2\pi k\right)$.
Двигай ползунок $a$ и переключай вкладки справа — зелёная дуга покажет решение неравенства $\gt a$.
⚠️Частая ошибкаДля $\sin x\gt a$ дуга-решение идёт «сверху» — от $\arcsin a$ до $\pi-\arcsin a$, а для $\cos x\gt a$ — «справа», от $-\arccos a$ до $\arccos a$. Перепутать направление легко: всегда смотри на чертёж, какая дуга реально лежит выше (правее) прямой, а не полагайся на память формулы.
Запомни
🧠Неравенства через дугу
найди граничные точки — $\arcsin a$/$\pi-\arcsin a$ или $\pm\arccos a$;
отметь дугу, которая лежит выше/ниже (правее/левее) прямой $y=a$ (или $x=a$);
концы дуги дают неравенство для $x$, а $+2\pi k$ добавляет все обороты;