11.6. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса
🚧ИдеяУ тангенса и котангенса нет ограничения $[-1;1]$ — они принимают любое значение $a\in\mathbb{R}$. Зато у них есть точки разрыва (асимптоты), которые всегда становятся одной из границ дуги-решения: между двумя соседними асимптотами функция пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$ ровно один раз.
Формулы решений
$$\operatorname{tg}x \gt a:\quad \operatorname{arctg}a+\pi k \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{tg}x \lt a:\quad -\dfrac{\pi}{2}+\pi k \lt x \lt \operatorname{arctg}a+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{ctg}x \gt a:\quad \pi k \lt x \lt \operatorname{arcctg}a+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{ctg}x \lt a:\quad \operatorname{arcctg}a+\pi k \lt x \lt \pi+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
Эти неравенства выполняются при любом $a\in\mathbb{R}$ — крайних случаев вроде $|a|\gt1$ здесь нет.
Примеры
$\operatorname{tg}x\gt1$: серия $\left(\tfrac{\pi}{4}+\pi k;\ \tfrac{\pi}{2}+\pi k\right)$.
$\operatorname{ctg}x\gt\tfrac{\sqrt3}{3}$: серия $\left(\pi k;\ \tfrac{\pi}{3}+\pi k\right)$.
Двигай ползунок $a$ и переключай вкладки справа — зелёная дуга покажет решение неравенства $\gt a$, а серым пунктиром отмечены асимптоты (границы, которых значение $x$ никогда не достигает).
⚠️Частая ошибкаГраницы дуги для $\operatorname{tg}x\gt a$ и $\operatorname{ctg}x\gt a$ — это открытый интервал: асимптоты $x=\tfrac{\pi}{2}+\pi k$ или $x=\pi k$ никогда не входят в ответ, там функция вообще не определена. Не пиши в ответе нестрогое неравенство $\le$ на границе — там просто нет значения функции.
Запомни
🧠Неравенства для tg и ctg
решают при любом $a$ — ограничений $|a|\le1$ нет;
одна граница дуги — $\operatorname{arctg}a$ (или $\operatorname{arcctg}a$), вторая — ближайшая асимптота;
асимптоты в ответ не входят — интервал строго открытый;
период $\pi$, а не $2\pi$ — не забывай про $+\pi k$, а не $+2\pi k$.