🔁
ИдеяТочно так же, как с уравнениями (п. 11.2) — если неравенство содержит одну и ту же функцию $f(x)$ или линейный аргумент $ax+b$, замена $t=f(x)$ или $t=ax+b$ сводит его к обычному алгебраическому неравенству относительно $t$. Дальше решение по $t$ переводится назад в простейшее тригонометрическое неравенство.
📐
СпособЗамена $t=f(x)$ сводит неравенство к квадратному/рациональному относительно $t$. Каждое условие на $t$ (например, $t\gt t_0$) возвращается в простейшее тригонометрическое неравенство $f(x)\gt t_0$ — а если условий несколько, их решения по $x$ объединяются.
Примеры
Пример 1. $\cos^2x-2{,}5\cos x+1\lt0$: замена $t=\cos x$ даёт $\tfrac12\lt t\lt2$. Так как $\cos x\lt2$ выполняется всегда, остаётся только $\cos x\gt\tfrac12$ — серия:
$$x \in \left(-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}$$
Пример 2. $\operatorname{tg}x-\dfrac{2}{\operatorname{tg}x}\gt1$: замена $t=\operatorname{tg}x$ даёт $-1\lt t\lt0$ или $t\gt2$ — объединение двух серий, каждая переводится обратно через $\operatorname{arctg}$.
Пример 3 (замена аргумента). $\cos\!\left(2x+\tfrac{\pi}{4}\right)\lt\tfrac{\sqrt2}{2}$: с заменой $t=2x+\tfrac{\pi}{4}$ получаем $\tfrac{\pi}{4}+2\pi n\lt t\lt\tfrac{7\pi}{4}+2\pi n$, откуда:
$$x \in \left(\pi n;\ \dfrac{3\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}$$
⚠️
Частая ошибкаПосле замены $t=\cos x$ (или $\sin x$) не забывай про естественное ограничение $-1\le t\le1$ — часть решения квадратного неравенства по $t$ может лежать вне этого отрезка и её нужно отбросить до возврата к $x$, как в примере 1 выше.