🧭
ИдеяВыражение $A\sin x+B\cos x$ похоже на формулу синуса суммы — не хватает только, чтобы коэффициенты сами были синусом и косинусом какого-то угла. Если поделить всё на $\sqrt{A^2+B^2}$, коэффициенты как раз превращаются в $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$ для некоторого вспомогательного угла $\varphi$ — и всё выражение сворачивается в одну функцию.
📐
МетодДля уравнений вида $A\sin x+B\cos x=C$ ($AB\ne0$): делим на $R=\sqrt{A^2+B^2}$, получаем $a\sin x+b\cos x=c$, где $a^2+b^2=1$. Подобрав угол $\alpha$ так, что $a=\sin\alpha,\ b=\cos\alpha$, получаем $\cos(x-\alpha)=c$; либо (при $a=\cos\beta,\ b=\sin\beta$) — $\sin(x+\beta)=c$. Дальше решается обычное простейшее уравнение.
Примеры
Пример 1. $\cos x+\sin x=\sqrt2$. Делим на $\sqrt2$: $\cos x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\sin x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=1$, то есть $\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1$, откуда:
$$x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
Пример 2. $5\sin x-12\cos x=0$. Делим на $R=\sqrt{25+144}=13$: подбираем угол $\alpha$ такой, что $\cos\alpha=\tfrac{5}{13}$, $\sin\alpha=\tfrac{12}{13}$ — получаем $\sin(x-\alpha)=0$, откуда $x=\operatorname{arcsin}\tfrac{12}{13}+\pi k$.
Тот же приём работает и для неравенств $A\sin x+B\cos x\gt C$, а также для однородных уравнений/неравенств второй степени $A\sin^2x+B\sin x\cos x=C$: сначала формулы двойного угла сводят выражение к виду $M\sin2x+N\cos2x=P$, а затем — снова вспомогательный угол.
⚠️
Частая ошибкаАмплитуда $R=\sqrt{A^2+B^2}$ — это не $A+B$. Перед делением на $R$ обязательно проверь, что $\dfrac{C}{R}$ по модулю не превышает $1$ — иначе после вспомогательного угла получится $\cos(x-\alpha)=c$ с $|c|\gt1$, и уравнение решений не имеет.