🔗ИдеяЕсли возвести сумму $\sin x+\cos x$ в квадрат, неожиданно появляется $\sin2x$: $(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$. Значит, обозначив $t=\sin x+\cos x$, можно выразить через $t$ и $\sin2x$ — и уравнение, где встречаются оба этих выражения одновременно, превращается в обычное уравнение по $t$.
📐Формула заменыДля уравнений и неравенств, содержащих $\sin x+\cos x$ и $\sin2x$ одновременно, удобна замена $t=\sin x+\cos x$, при которой:
$$\sin2x = t^2-1$$
Аналогично для выражений с $\sin x-\cos x$: замена $t=\sin x-\cos x$ даёт $\sin2x=1-t^2$.
Область значений $t=\sin x+\cos x$ (через вспомогательный угол, п. 11.8) — отрезок $[-\sqrt2;\ \sqrt2]$, это тоже нужно учитывать при отборе корней.
Пример
$2\sin2x+\sin x+\cos x=1$. Замена $t=\sin x+\cos x$ даёт $2(t^2-1)+t=1$, то есть $2t^2+t-3=0$ — корни $t=1$ и $t=-\tfrac32$.
Корень $t=-\tfrac32$ отбрасываем сразу: он вне отрезка $[-\sqrt2;\sqrt2]\approx[-1{,}41;\,1{,}41]$.
Уравнение $\sin x+\cos x=1$ через вспомогательный угол: $\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt2}{2}$ — две серии:
$$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=2\pi k$$
⚠️Частая ошибкаЛегко забыть про ограничение $|t|\le\sqrt2$ для замены $t=\sin x+\cos x$ — оно строже привычного $|t|\le1$ для одиночного синуса или косинуса. Корень квадратного уравнения по $t$, который попадает между $1$ и $\sqrt2\approx1{,}41$, ещё годится, а вот $t=-\tfrac32=-1{,}5$ уже нет — обязательно сверяйся с $\sqrt2\approx1{,}414$.
Запомни
🧠Замена t = sin x + cos x
работает, когда в уравнении есть и $\sin x+\cos x$, и $\sin2x$ одновременно;
$\sin2x=t^2-1$ (для $t=\sin x-\cos x$: $\sin2x=1-t^2$);
область значений $t$ — отрезок $[-\sqrt2;\ \sqrt2]$, а не $[-1;1]$;
после отбора корней $t$ — уравнение $\sin x+\cos x=t_0$ решается через вспомогательный угол.