11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Элементарные функции

🏭 Из жизниПредставь функцию как станок: на вход подаёшь число $x$, станок по своему закону превращает его в число $y$. А если поставить два станка друг за другом — выход первого станка стал входом второго — получится «станок из станков». Именно так устроена сложная функция: сначала число $x$ проходит через функцию $\varphi$, получается $u=\varphi(x)$, а затем $u$ проходит через функцию $F$, и на выходе — $y=F(u)$.

Что такое функция

Пусть каждому числу $x$ из множества $X$ по некоторому закону поставлено в соответствие ровно одно число $y$. Тогда говорят, что задана функция $y=f(x)$, $x\in X$. Число $x$ называют независимой переменной (аргументом), число $y$ — зависимой переменной (значением функции), множество $X$ — областью определения функции.

🎯 Значение функцииЧисло, которое соответствует конкретному $x_0\in X$, называют значением функции в точке $x_0$ и обозначают $y(x_0)$ или $f(x_0)$.

Сложная функция (суперпозиция)

Пусть функция $u=\varphi(x)$ определена на множестве $X$, а все её значения попадают в множество $G$, на котором определена функция $y=F(u)$. Тогда каждому $x\in X$ можно сопоставить число $y=F(\varphi(x))$ — такую функцию называют сложной функцией или суперпозицией функций $\varphi$ и $F$.

🔗 Сложная функция$$y = F(\varphi(x))$$ Например, если $y=2^u$ и $u=x^3$, то получаем сложную функцию $y = 2^{x^3}$.

Основные элементарные функции

Ещё из курса алгебры вам знаком набор «базовых кирпичиков», из которых строится вся школьная математика:

$$y=x^n,\ y=x^{-n}\ (n\in\mathbb N),\quad y=\sqrt[n]{x}\ (n\ge2),\quad y=x^\alpha,\ y=x^{-\alpha}\ (\alpha > 0)$$

$$y=\sin x,\ y=\cos x,\ y=\operatorname{tg}x,\ y=\operatorname{ctg}x$$

$$y=a^x\ (a > 0,\,a\ne1),\qquad y=\log_a x\ (a > 0,\,a\ne1)$$

Эти функции называют основными элементарными функциями.

Элементарные функции

📐 ОпределениеФункции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций ($+,-,\times,{:}$) и конечного числа суперпозиций, называют элементарными функциями.

Например, элементарными являются функции $y=\sin x+\cos x$, $y=-\sin^2(x-5)$, $y=e^{4x}+x^2$, $y=\log_2(3x+4)$.

Попробуй сам

На интерактиве два «станка» соединены в цепочку: сначала $x$ проходит через внутреннюю функцию $\varphi$, потом результат $u$ — через внешнюю функцию $F$. Выбери пары функций из списка и подвигай ползунок $x$ — увидишь, как меняются промежуточные значения $u=\varphi(x)$ и итоговый результат $y=F(\varphi(x))$.

Запомни

🧠 Элементарные функции
  • функция $y=f(x)$ — закон, по которому каждому $x\in X$ ставится в соответствие ровно одно $y$;
  • сложная функция (суперпозиция) $y=F(\varphi(x))$ — сначала выполняется $\varphi$, затем $F$ применяется к её результату;
  • основные элементарные функции — степенная, корень, тригонометрические, показательная, логарифмическая;
  • элементарная функция — результат конечного числа арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике