11 класс · Функции. Производные. Интегралы

1.8*. Графики сложных функций

🎢 Из жизниПредставь, что идёшь по прямой дорожке, идущей вверх (это $y=x$), а параллельно тебе кто-то качается на качелях (это $y=\sin x$). Твоя общая высота в каждый момент — сумма высоты дорожки и высоты качелей. График $y=x+\sin x$ строится именно так: складываются высоты (ординаты) двух графиков в каждой точке $x$.

Суперпозиция функций

Чтобы построить график $y=f(\varphi(x))$, полезно использовать свойства «внешней» функции $f$ на промежутках, где известно поведение «внутренней» $\varphi$. Например, для $y=2^{\sin x}$: пока $\sin x$ возрастает от $-1$ до $1$ на $[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2]$, функция $2^{\sin x}$ тоже возрастает — от $\tfrac12$ до $2$ (так как $2^u$ — возрастающая). Обе функции периодические с периодом $2\pi$.

График суммы функций

➕ Правило построения $y=f(x)+g(x)$Область определения — пересечение областей определения $f$ и $g$. В каждой точке $x$ складываем ординаты (высоты) точек графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

График произведения функций

✖️ Правило построения $y=f(x)\cdot g(x)$Та же область определения, что и для суммы, но вместо сложения — перемножаем ординаты точек графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$ в каждой точке $x$.

Кусочно-заданные функции

Простейший пример — функция $y=|x|$, а ещё функция «сигнум»: $\operatorname{sgn}x=1$ при $x > 0$, $\operatorname{sgn}x=0$ при $x=0$, $\operatorname{sgn}x=-1$ при $x < 0$. График более сложной кусочной функции строится отдельно на каждом промежутке — по своей формуле.

Попробуй сам

На интерактиве переключай между суммой и произведением функций $y=x$ и $y=\sin x$. Пунктирные линии — исходные графики, сплошная цветная — результат. Перетаскивай точку по оси $x$ и смотри, как складываются (или перемножаются) высоты обоих графиков.

Запомни

🧠 Графики сложных функций
  • суперпозиция $f(\varphi(x))$ — используем свойства $f$ на промежутках монотонности $\varphi$;
  • сумма $f(x)+g(x)$ — складываем ординаты в общей области определения;
  • произведение $f(x)\cdot g(x)$ — перемножаем ординаты в общей области определения;
  • кусочно-заданная функция строится по частям, каждая — по своей формуле на своём промежутке.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике