🎯Из жизниСпидометр в машине показывает не среднюю скорость за поездку, а скорость прямо сейчас, в этот самый миг. Чтобы получить такую «мгновенную» скорость математически, берут среднюю скорость на всё более коротком промежутке времени и смотрят, к какому числу она приближается.
От средней скорости к мгновенной
Пусть точка движется по закону $s(t)=4t^2$. Средняя скорость на промежутке $[t;\,t+\Delta t]$ равна
Для $s(t)=4t^2$ получаем $v_{ср}=8t+4\Delta t$ — при $\Delta t\to0$ это стремится к $8t$. Число $8t$ называют мгновенной скоростью.
📘ОпределениеПроизводной функции $y=f(x)$ в точке $x$ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Возьмём на графике точку $A=(x;f(x))$ и соседнюю точку $C=(x+\Delta x;f(x+\Delta x))$. Прямая через $A$ и $C$ — секущая, её угловой коэффициент равен $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Когда $\Delta x\to0$, точка $C$ скользит по кривой к точке $A$, и секущая поворачивается, стремясь занять положение касательной. Потяни точку $C$ в интерактиве справа — увидишь, как секущая приближается к касательной, а её наклон — к $f'(x_0)$.
$$f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha$$
где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$. Это геометрический смысл производной.
⚠️Частая ошибкаЗабывать, что $f'(x)$ — это тоже функция от $x$ (а не одно число), если производная существует в каждой точке промежутка. Число получается только после подстановки конкретного $x_0$: например, $f'(0)=-2$ в примере с $y=0{,}5x^2-2x+4$.
Запомни
🧠Производная
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ — предел отношения приращений;
механический смысл — мгновенная скорость $v(t)=s'(t)$;