11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Понятие производной

          🎯
          Из жизниСпидометр в машине показывает не среднюю скорость за поездку, а скорость прямо сейчас, в этот самый миг. Чтобы получить такую «мгновенную» скорость математически, берут среднюю скорость на всё более коротком промежутке времени и смотрят, к какому числу она приближается.
        

От средней скорости к мгновенной

Пусть точка движется по закону $s(t)=4t^2$. Средняя скорость на промежутке $[t;\,t+\Delta t]$ равна

$$v_{ср}=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$$

Для $s(t)=4t^2$ получаем $v_{ср}=8t+4\Delta t$ — при $\Delta t\to0$ это стремится к $8t$. Число $8t$ называют мгновенной скоростью.

📘 ОпределениеПроизводной функции $y=f(x)$ в точке $x$ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Геометрический смысл: секущая → касательная

Возьмём на графике точку $A=(x;f(x))$ и соседнюю точку $C=(x+\Delta x;f(x+\Delta x))$. Прямая через $A$ и $C$ — секущая, её угловой коэффициент равен $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Когда $\Delta x\to0$, точка $C$ скользит по кривой к точке $A$, и секущая поворачивается, стремясь занять положение касательной. Потяни точку $C$ в интерактиве — увидишь, как секущая приближается к касательной, а её наклон — к $f'(x_0)$.

$$f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha$$

где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$. Это геометрический смысл производной.

Простейшие производные

Прямо по определению можно показать:

$$x'=1,\qquad C'=0,\qquad (kx+b)'=k,\qquad (x^2)'=2x,\qquad (ax^2+bx+c)'=2ax+b$$

⚠️ Частая ошибкаЗабывать, что $f'(x)$ — это тоже функция от $x$ (а не одно число), если производная существует в каждой точке промежутка. Число получается только после подстановки конкретного $x_0$: например, $f'(0)=-2$ в примере с $y=0{,}5x^2-2x+4$.

Запомни

🧠 Производная

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ — предел отношения приращений;
механический смысл — мгновенная скорость $v(t)=s'(t)$;
геометрический смысл — угловой коэффициент касательной $f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике