Алгебра 11 класс: Производная суммы. Производная разности

        🎯
        Из жизниЕсли общая скорость роста двух вкладов равна сумме скоростей роста каждого по отдельности, то не нужно пересчитывать всё с нуля — достаточно сложить два уже известных результата. Так же устроена производная суммы: считать производную каждого слагаемого отдельно и просто сложить их.
      

📘 Теорема (производная суммы)Если функции $u(x)$ и $v(x)$ имеют в точке $x$ производные, то их сумма тоже имеет производную, и

$$(u+v)'=u'+v'$$

Аналогично для разности: $(u-v)'=u'-v'$. А постоянный множитель можно выносить за знак производной:

$$(Au)'=A\cdot u'$$

Разбор примера по шагам

Найдём производную функции $f(x)=2x^2+3x-4$ и построим касательную в произвольной точке. Смотри интерактив справа: тяни точку по кривой — угловой коэффициент касательной пересчитывается прямо по формуле $f'(x)=4x+3$, полученной из правил суммы и вынесения множителя.

$$f'(x)=(2x^2)'+(3x)'-(4)'=2(x^2)'+3(x)'-0=2\cdot2x+3=4x+3$$

Ещё примеры

$$(x^2+3)'=(x^2)'+(3)'=2x+0=2x$$

$$(5x^2-3x)'=5(x^2)'-3(x)'=10x-3$$

⚠️ Частая ошибкаСчитать, что производная произведения равна произведению производных — это правило верно только для суммы/разности, а не для произведения (правило Лейбница для произведения будет отдельно, см. п.4.4).

Запомни

🧠 Производная суммы и разности

$(u+v)'=u'+v'$, $(u-v)'=u'-v'$ — производная суммы/разности слагаемых;
$(Au)'=A\cdot u'$ — постоянный множитель выносится;
для суммы нескольких слагаемых с коэффициентами: $(A_1u_1+\dots+A_nu_n)'=A_1u_1'+\dots+A_nu_n'$.

§4 · п.4.1 Понятие производной Все темы §4 · п.4.3* Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал

Потяни точку по кривой f(x) = 2x² + 3x − 4