📏ИдеяКак и с уравнениями, два неравенства равносильны, если множества их решений совпадают. Отличие в том, что решение неравенства — не отдельные точки, а целые промежутки на числовой прямой, и при некоторых преобразованиях эти промежутки могут "перевернуться".
📐ОпределениеНеравенства $f(x)>g(x)$ и $\varphi(x)>\psi(x)$ называют равносильными, если множества их решений совпадают (в частности, если у обоих решений нет). Например, $x>1$ и $x^3>1$ равносильны — оба имеют решение $(1;\,+\infty)$.
Основные равносильные преобразования
1Перенос члена в другую часть, умножение/деление на положительное число, применение тождеств — знак неравенства сохраняется.
2Возведение в нечётную степень и извлечение корня нечётной степени — знак тоже сохраняется: $f(x)>g(x) \Leftrightarrow f^{2m+1}(x)>g^{2m+1}(x)$.
3Логарифмирование $a^{f(x)}>a^{g(x)}$: при $a>1$ равносильно $f(x)>g(x)$ (знак сохраняется), а при $0 \lt a \lt 1$ равносильно $f(x) \lt g(x)$ — знак переворачивается.
Нестрогое неравенство $f(x)\ge g(x)$ решают в два шага: сначала находят решения уравнения $f(x)=g(x)$, затем строгого неравенства $f(x)>g(x)$, и объединяют оба результата. Например, для $\left(\tfrac34\right)^{1-2x}\ge\left(\tfrac34\right)^{-x+5}$ (основание $\lt 1$, знак переворачивается) уравнение даёт $x=-4$, неравенство — $x>-4$, вместе — $x\in[-4;\,+\infty)$.
⚠️Частая ошибкаПри умножении обеих частей неравенства на число забывают проверить его знак: умножение на отрицательное число переворачивает неравенство, а формула из этого пункта работает только для положительного множителя. Так же легко забыть перевернуть знак при логарифмировании по основанию $0 \lt a \lt 1$.
Запомни
🧠Равносильные преобразования неравенств
равносильны — совпадают множества решений (промежутки, а не отдельные точки);
перенос члена, умножение на $A>0$, нечётная степень/корень — знак сохраняется;
логарифмирование по основанию $0 \lt a \lt 1$ — знак неравенства меняется на противоположный;